Question

如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝4，AB＝2，M是PD的中点．

（1）求证：平面ABM⊥平面PCD；
（2）求直线CD与平面ACM所成角的正弦值；
（3）以AC的中点O为球心、AC为直径的球交PC于点N求点N到平面ACM的距离．

Answer 1

（1）先证明AM⊥平面PCD；（2）；（3）。

试题分析：（1）由底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=4，AB=2，解得BP=2=BD
又M在PD上，且BM⊥PD，∴M为BD中点，∴AM⊥PD；
又BA⊥PA，且BA⊥AD，PA∩AD=A，∴BA⊥平面PAD，
∴BA⊥AM，
∵CD⊥AM，PD∩CD=D，∴AM⊥面PCD，
∵AM?平面ABM，
∴平面ABM⊥平面PCD。
（2）建右手系，用向量计算，
平面ACM的一个法向量是n＝（2，－1，1）
所求角的正弦值为
（3）由条件可得AN⊥NC，
所求距离为
点评：中档题，立体几何中的垂直、平行关系，是高考常常考查的内容。关于距离的计算通常有两种思路，一是几何法，注意“一作、二证、三计算”；二一种思路，是利用空间向量，简化证明过程。