Question

对数列{x_n}，满足，；对函数f（x）在（-2，2）上有意义，，且满足x，y，z∈（-2，2）时，有成立，则f（x_n）的表示式为

1. A.
   -2ⁿ
2. B.
   3ⁿ
3. C.
   -2×3ⁿ
4. D.
   2×3ⁿ

Answer 1

C
分析：由，结合已知可得．由x=y=z=0可得f（-x）=-f（x）．再根据题设条件能够推出{f（x_n）}是以-6为首项，以3为公比的等比数列，由此能够求出f（x_n）的表示式．
解答：由，结合已知可得；
由x=y=z=0?3f（0）=f（0），
∴f（0）=0，令z=0，得f（x）+f（y）=f（x+y），
令y=-x，则f（x）+f（-x）=f（0）=0，
则f（-x）=-f（x）．
又=，
且==f（x_n）+f（x_n）+f（x_n）=3f（x_n），
于是，即{f（x_n）}是以-6为首项，以3为公比的等比数列，
所以f（x_n）=-2×3ⁿ．
点评：本题考查函数奇偶性、特殊值法应用及递推数列通项公式求法．“函数f（x）在上（-2，2）有意义，满足x，y∈（-2，2）时，有成立，则函数f（x）是奇函数”，这一性质来源于课本习题．本题将其与数列相结合，可谓精工之作．可见，重视课本例、习题很有必要．