Question

定义在R上的函数f（x）满足f（x+y）=f（x）+f（y）+2xy，f（xy）=f（x）f（y） （x，y∈R），且当x≠o时，f（x）≠0．
（1）求证：f（0）=0
（2）证明：f（x）是偶函数．并求f（x）的表达式
（3）若f（x）=alnx有两个不同实数解，求a的取值范围．

Answer 1

解：（1）∵f（x+y）=f（x）+f（y）+2xy，令x=y=0，
∴f（0）=2f（0）
∴f（0）=0；
（2）令x=y=1代入f（xy）=f（x）f（y）∴f（1）=f（1）²，
∵当x≠0时，f（x）≠0，
∴f（1）=1，
令y=x代入f（x+y）=f（x）+f（y）+2xy，f（xy）=f（x）f（y） （x，y∈R），
f（2x）=2f（x）+2x²，f（2x）=f（2）f（x），
∴f（2）f（x）=2f（x）+2x²，
∵f（2）=2f（1）+2=4，
∴f（x）=x²，f（-x）=f（x）
∴f（x）为偶函数；
（3）∵f（x）=alnx有两个不同实数解，
∴令h（x）=f（x）-alnx=x²-xlnx，
∴h′（x）=2x-，令h′（x）=0，
解得x=±，
当-＜x＜时，h′（x）＜0，f（x）单调减函数；
当x≥或x≤-时，h′（x）＞0，f（x）单调增函数；
如下图：要求h（x）与x轴有两个交点，
可得h（-）=0，
∴a=
分析：（1）令x=y=0代入f（x+y）=f（x）+f（y）+2xy，即可求解；
（2）求出f（x）的表达式再判断奇偶性，由f（xy）=f（x）f（y），令x=y=1，得f（1）=1，再令y=x，代入f（x+y）=f（x）+f（y）+2xy，求出f（x），即可求解．
（3）令h（x）=f（x）-alnx，对其求导，求出h（x）的单调区间，画出草图，即可求解；
点评：此题考查抽象函数的问题，这类题一般都利用特殊值法，先求出几个特殊值f（0），f（1）等，看似很难其实比较简单，最后一问用到了利用导数来求函数的单调区间，其中构造函数h（x）很关键．