分析 (1)根据向量积的运算由$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=-18可得AB•AC•cosA=18,利用余弦定理可求BC的长度.
(2)方法1:利用余弦定理求解cosB和sinB,可得tanB,在利用二倍角公式求tan2B.
方法2:利用正弦定理求sinB,在求cosB,可得tanB,在利用二倍角公式求tan2B.
解答 解:(1)由$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=-18可得AB•AC•cosA=-18,
∵AB=6,AC=3$\sqrt{2}$
∴cosA=$\frac{18}{6×3\sqrt{2}}$=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$,
∵0<A<π,
∴A=$\frac{3π}{4}$
由余弦定理可得:
BC=$\sqrt{A{B}^{2}+A{C}^{2}-2AB•AC•cosA}$=$3\sqrt{10}$;
(2)方法1:
由(1)可得:a=3$\sqrt{10}$,b=3$\sqrt{2}$,c=6,
可得:cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$
那么sinB=$\sqrt{1-co{s}^{2}B}=\frac{\sqrt{10}}{10}$
∴tanB=$\frac{sinB}{cosB}=\frac{1}{3}$
故得tan2B=$\frac{2tanB}{1-ta{n}^{2}B}$=$\frac{3}{4}$.
方法2:
由(1)可得:cosA=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$,A=$\frac{3π}{4}$
那么:$0<B<\frac{π}{4}$
∵a=3$\sqrt{10}$,b=3$\sqrt{2}$,c=6,
那么sinA=$\frac{\sqrt{2}}{2}$
正弦定理可得:$\frac{b}{sinB}=\frac{a}{sinA}$,
可得sinB=$\frac{3\sqrt{2}×sinA}{3\sqrt{10}}$=$\frac{\sqrt{10}}{10}$,
那么:cosB=$\sqrt{1-si{n}^{2}B}=\frac{3\sqrt{10}}{10}$
∴tanB=$\frac{sinB}{cosB}=\frac{1}{3}$
故得tan2B=$\frac{2tanB}{1-ta{n}^{2}B}$=$\frac{3}{4}$.
点评 本题考查了正余弦定理的运用和二倍角公式,同角三角关系式的运用.属于基础题.
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | ${a_n}=\frac{{n({n-1})}}{2}$ | B. | an=n(n-1) | C. | an=n-1 | D. | ${a_n}={2^n}-2$ |
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科目:高中数学 来源: 题型:填空题
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