Question

（2007•浦东新区二模）记函数f（x）=f₁（x），f（f（x））=f₂（x），它们定义域的交集为D，若对任意的x∈D，f₂（x）=x，则称f（x）是集合M的元素．
（1）判断函数f（x）=-x+1，g（x）=2x-1是否是M的元素；
（2）设函数f（x）=log₂（1-2^x），求f（x）的反函数f^-1（x），并判断f（x）是否是M的元素；
（3）f（x）=

ax

x+b

∈M（a＜0），求使f（x）＜1成立的x的范围．

Answer 1

分析：（1）利用新定义，求出f[f（x）]、g[g（x）]，即可得到结论；
（2）利用新定义，求出f[f（x）]=x，即可说明不论a为何值，f（x）都是集合M的元素；
（3）利用新定义，确定a，b的关系，进而可解不等式．

解答：（1）解：∵f[f（x）]=-（-x+1）+1=x，∴f（x）=-x+1∈M…（2分）
∵g[g（x）]=2（2x-1）-1=4x-3，∴g（x）=2x-1∉M…（4分）
（2）证明：f[f(x)]=log2(a-2log2(a-2x))=log(a-a+2x)=x
所以不论a为何值，f（x）都是集合M的元素       …（7分）
（3）解：∵f(x)=

ax

x+b

∈M，(a＜0)，∴f₂（x）=f[f（x）]=x对定义域内的一切x恒成立
∴

a• ax x+b

ax x+b +b

=x，解得（a+b）x²-（a²-b²）x=0对定义域内的一切x恒成立   …（9分）
∴a+b=0…（10分）
由f（x）＜1，得到

ax

x-a

-1＜0，∴

(a-1)x+a

x-a

＜0…（11分）
由a＜0，∴

x- a 1-a

x-a

＞0
又0＞

a

1-a

＞a…（12分）
∴x的取值范围是x＞

a

1-a

或x＜a…（14分）

点评：本题考查新定义，考查不等式的解法，考查学生的计算能力，属于中档题．