Question

（2010•广东模拟）已知a＞0，b＞0，函数f（x）=x²+（ab-a-4b）x+ab是偶函数，则f（x）的图象与y轴交点纵坐标的最小值为（　　）

• A．16
• B．8
• C．4
• D．2

  2

Answer 1

分析：根据函数f（x）为偶函数，可得a，b满足ab=a+4b，利用均值定理求出ab的最小值，而f（x）的图象与y轴交点纵坐标就是ab，所以可得f（x）的图象与y轴交点纵坐标的最小值．

解答：解：∵函数f（x）=x²+（ab-a-4b）x+ab是偶函数，∴ab-a-4b=0，
∴ab=a+4b，∵a＞0，b＞0，∴a+4b≥2

a•4b

=4

ab

，即ab≥4

ab

，
令

ab

=t，∴t²≥4t，t≥4，即

ab

≥4，ab≥16
令函数f（x）=x²+（ab-a-4b）x+ab中x=0，得，f（0）=ab，∴f（x）的图象与y轴交点纵坐标为ab，
∵ab≥4

ab

，∴f（x）的图象与y轴交点纵坐标的最小值为16．
故答案为A

点评：本题主要考查函数奇偶性的判断，以及利用均值定理求最值，属于函数性质与不等式的综合．