Question

已知

a

=(5

3

cosx，cosx)

b

=(sinx，2cosx)，函数f（x）=

a

•

b

+|

b

|2．
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）求函数f（x）的单调减区间；
（3）当

π

6

≤x≤

π

2

时，求函数f（x）的值域．

Answer 1

分析：（1）根据向量的数量积公式，结合二倍角公式、辅助角公式化简函数，利用周期公式，可求函数f（x）的最小正周期；
（2）由2kπ+

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

3π

2

得kπ+

π

6

≤x≤kπ+

2π

3

，从而可得f（x）的单调减区间；
（3）由

π

6

≤x≤

π

2

，可得

π

2

≤2x+

π

6

≤

7π

6

，从而可求函数f（x）的值域．

解答：解：（1）∵

a

=(5

3

cosx，cosx)，

b

=(sinx，2cosx)，
∴函数f（x）=

a

•

b

+|

b

|2=5

3

sinxcosx+sin²x+6cos²x=

5 3

2

sin2x+

1-cos2x

2

+3(1+cos2x)
=

5 3

2

sin2x+

5cos2x

2

+

7

2

=5sin（2x+

π

6

）+

7

2

∴f（x）的最小正周期T=

2π

2

=π；
（2）由2kπ+

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

3π

2

得kπ+

π

6

≤x≤kπ+

2π

3

，k∈Z
∴f（x）的单调减区间为[kπ+

π

6

，kπ+

2π

3

]（k∈Z）
（3）∵

π

6

≤x≤

π

2

∴

π

2

≤2x+

π

6

≤

7π

6

∴-

1

2

≤sin(2x+

π

6

)≤1
∴1≤f（x）≤

17

2

即f（x）的值域为[1，

17

2

]．

点评：本题考查向量知识的运用，考查三角函数的化简，考查函数的单调性与值域，化简函数是关键．