Question

6．过点P（1，3）的动直线与抛物线y=x²交于A，B两点，在A，B两点处的切线分别为l₁、l₂，若l₁和l₂交于点Q，则圆x²+（y-2）²=4上的点与动点Q距离的最小值为$\sqrt{5}$-2．

Answer 1

分析 设动直线的方程为：y-3=k（x-1），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（x₁≠x₂）．直线方程与抛物线方程联立化为：x²-kx+k-3=0．对y=x²求导，y′=2x，可得切线l₁、l₂的方程分别为：y-y₁=2x₁（x-x₁），y-y₂=2x₂（x-x₂）．化为：y=2x₁x-${x}_{1}^{2}$，y=2x₂x-${x}_{2}^{2}$，再利用根与系数的关系可得：Q$（\frac{k}{2}，k-3）$，其轨迹方程为：y=2x-3．圆x²+（y-2）²=4的圆心C（0，2）．求出圆心C到直线的距离d．即可得出圆x²+（y-2）²=4上的点与动点Q距离的最小值为 d-r．

解答 解：设动直线的方程为：y-3=k（x-1），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（x₁≠x₂）．
联立$\left\{\begin{array}{l}{y-3=k（x-1）}\\{y={x}^{2}}\end{array}\right.$，化为：x²-kx+k-3=0，
∴x₁+x₂=k，x₁x₂=k-3．
对y=x²求导，y′=2x，
切线l₁、l₂的方程分别为：y-y₁=2x₁（x-x₁），y-y₂=2x₂（x-x₂）．
化为：y=2x₁x-${x}_{1}^{2}$，y=2x₂x-${x}_{2}^{2}$，
相减可得：x=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=$\frac{k}{2}$，
相加可得：y=（x₁+x₂）x-$\frac{1}{2}$[$（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}$-2x₁x₂]=$\frac{1}{2}{k}^{2}$-$\frac{1}{2}[{k}^{2}-2（k-3）]$=k-3．
解得Q$（\frac{k}{2}，k-3）$，其轨迹方程为：y=2x-3．
圆x²+（y-2）²=4的圆心C（0，2）．
圆心C到直线的距离d=$\frac{5}{\sqrt{5}}$=$\sqrt{5}$＞2=r．
∴圆x²+（y-2）²=4上的点与动点Q距离的最小值为 $\sqrt{5}$-2．
故答案为：$\sqrt{5}$-2．

点评 本题考查了抛物线的标准方程及其性质、利用导数的几何意义研究直线与抛物线相切切线斜率、一元二次方程的根与系数的关系、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．