Question

如果一个数列的各项都是实数，且从第二项开始，每一项与它前一项的平方差是相同的常数，则称该数列为等方差数列，这个常数叫这个数列的公方差．
（1）设数列{a_n}是公方差为p的等方差数列，求a_n和a_n-1（n≥2，n∈N）的关系式；
（2）若数列{a_n}既是等方差数列，又是等差数列，证明该数列为常数列；
（3）设数列{a_n}是首项为2，公方差为2的等方差数列，若将a₁，a₂，a₃，…，a₁₀这种顺序的排列作为某种密码，求这种密码的个数．

Answer 1

解：（1）解：由等方差数列的定义可知：a_n²-a_n-1²=p，n≥2，n∈N．
（2）证明：∵a_n是等差数列，设公差为d，则a_n-a_n-1=a_n+1-a_n=d
又a_n是等方差数列，∴a_n²-a_n-1²=a_n+1²-a_n²
∴（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1）=（a_n+1+a_n）（a_n+1-a_n）
即d（a_n+a_n-1-a_n+1-a_n）=-2d²=0，
∴d=0，即a_n是常数列．
（3）依题意，a_n²-a_n-1²=2，n≥2，n∈N，
a₁²=4，a_n²=4+2（n-1）=2n+2，
∴，或，
即该密码的第一个数确定的方法数是l，其余每个数都有“正”或“负”两种
确定方法，当每个数确定下来时，密码就确定了，即确定密码的方法数是2⁹=512种，
故，这种密码共512种．
分析：（1）由等方差数列的定义可知：a_n²-a_n-1²=p，n≥2，n∈N．
（2）证明：由题意可知a_n²-a_n-1²=a_n+1²-a_n²，所以（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1）=（a_n+1+a_n）（a_n+1-a_n）
即d（a_n+a_n-1-a_n+1-a_n）=-2d²=0，所以d=0，即a_n是常数列．
（3）依题意，a_n²-a_n-1²=2，n≥2，n∈N，由此能够导出，或，由此入手能够导出这种密码的个数．
点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要注意公式的灵活运用．