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已知n2(n≥4且n∈N*)个正数排成一个n行n列的数阵:
其中ai,k(i,k∈N*,且1≤i≤n,1≤k≤n)表示该数阵中位于第i行第k列的数,已知该数阵中各行的数依次成等差数列,各列的数依次成公比为2的等比数列,已知a2,3=8,a3,4=20.
(1)求a1,1a2,2
(2)设An=a1,n+a2,n-1+a3,n-2+…+an,1求证:An+n能被3整除.
【答案】分析:(1)根据等比数列的通项公式求得a1,3和a1,4,进而可知第1行公差d,进而根据等差数列的通项公式求得
a1,1a1,2;进而利用a2,2=2a1,2=求得1a2,2
(2)根据(1)可分别求得a1,n一直到an-1,2,相加后利用错位想减法求得An,进而求得An+n可知其能被3整除.
解答:解:(1)由题意,a2,3=8,a3,4=20,所以a1,3=4,a1,4=5,
故第1行公差d=1,
所以a1,1=2,a1,2=3,得a2,2=2a1,2=6.
(2)同(1)可得,a1,n=n+1,
a2,n-1=2n,
a3,n-2=22(n-1),

an-1,2=3×2n-2,an,1=2×2n-1
所以
An=a1,n+a2,n-1+a3,n-2+…+an,1
=(n+1)+n×21+(n-1)×22+(n-2)×23++2×2n-12An
2An=(n+1)×21+n×22+(n-1)×23++3×2n-1+2×2n
两式相减,得An=-(n+1)+21+22+23++2n-1+2×2n
=
=-(n+1)+2n-2+2×2n=3×2n-3-n
所以An+n=3×(2n-1),故An+n能被3整除.
点评:本题主要考查等比数列的性质.考查了学生综合分析问题的能力.
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(2)设An=a1,n+a2,n-1+a3,n-2+…+an,1求证:An+n能被3整除.精英家教网

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科目:高中数学 来源: 题型:解答题

(文科)已知n2(n≥4且n∈N*)个正数排成一个n行n列的数阵:
     第1列  第2列  第3列  …第n列
第1行   a1,1 a1,2 a1,3 …a1,n
第2行   a2,1 a2,2 a2,3 …a2,n
第3行   a3,1 a3,2 a3,3 …a3,n

第n行   an,1 an,2 an,3 …an,n
其中ai,k(i,k∈N*,且1≤i≤n,1≤k≤n)表示该数阵中位于第i行第k列的数,已知该数阵中各行的数依次成等比数列,各列的数依次成公比为2的等比数列,已知a2,3=8,a3,4=20.
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科目:高中数学 来源: 题型:填空题

已知n2(n≥4且n∈N*)个正数排成一个n行n列的数阵:
      第1列  第2列  第3列  …第n列
第1行    a1,1 a1,2 a1,3 …a1,n
第2行    a2,1 a2,2 a2,3 …a2,n
第3行     a3,1a3,2 a3,3 …a3,n

第n行     an,1 an,2 an,3 …an,n
其中ai,k(i,k∈N*,且1≤i≤n,1≤k≤n)表示该数阵中位于第i行第k列的数,已知该数阵中各行的数依次成等差数列,各列的数依次成公比为2的等比数列,已知a23=8,a3,4=20.则a2,2=________.

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