Question

14．在平面直角坐标系xOy中，如图，已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{5}$=1的左、右顶点为A、B，右焦点为F．设过点T（t，m）的直线TA、TB与椭圆分别交于点M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），其中m＞0，y₁＞0，y₂＜0．
（1）设动点P满足PF²-PB²=4，求点P的轨迹；
（2）设${x_1}=2，{x_2}=\frac{1}{3}$，求点T的坐标．

Answer 1

分析 （1）设点P（x，y），由两点距离公式将PF²-PB²=4，变成坐标表示式，整理即得点P的轨迹方程；
（2）将${x_1}=2，{x_2}=\frac{1}{3}$分别代入椭圆方程，解出点M与点N的坐标，由两点式写出直线AM与直线BN的方程，联立解出交点T的坐标．

解答 解：（1）设点P（x，y），则F（2，0）、B（3，0）、A（-3，0）．
由PF²-PB²=4，得（x-2）²+y²-[（x-3）²+y²]=4，
化简得x=$\frac{9}{2}$．
故所求点P的轨迹为直线x=$\frac{9}{2}$；
（2）将${x_1}=2，{x_2}=\frac{1}{3}$分别代入椭圆方程，以及y₁＞0，y₂＜0，
得M（2，$\frac{5}{3}$）、N（$\frac{1}{3}$，-$\frac{20}{9}$），
直线MTA方程为：$\frac{y-0}{\frac{5}{3}-0}=\frac{x+3}{2+3}$，即y=$\frac{1}{3}$x+1，
直线NTB方程为：$\frac{y-0}{-\frac{20}{9}-0}=\frac{x-3}{\frac{1}{3}-3}$，即y=$\frac{5}{6}$x-$\frac{5}{2}$．
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{3}x+1}\\{y=\frac{5}{6}x-\frac{5}{2}}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=7}\\{y=\frac{10}{3}}\end{array}\right.$，
点T的坐标为（7，$\frac{10}{3}$）．

点评 本题考查椭圆的简单性质，考查直线与椭圆的方程等基础知识．考查运算求解能力和探究问题的能力，是中档题．