Question

时下，网校教学越来越受到广大学生的喜爱，它已经成为学生们课外学习的一种趋势，假设某网校的套题每日的销售量y（单位：千套）与销售价格x（单位：元/套）满足的关系式，其中2＜x＜6，m为常数．已知销售价格为4元/套时，每日可售出套题21千套．
（1）求m的值；
（2）假设网校的员工工资，办公等所有开销折合为每套题2元（只考虑销售出的套数），试确定销售价格x的值，使网校每日销售套题所获得的利润最大．（保留1位小数）

Answer 1

解：（1）因为销售价格为4元/套时，每日可售出套题21千套，所以x=4时，y=21，
代入关系式，得，
解得m=10．
（2）由（1）可知，套题每日的销售量，
所以每日销售套题所获得的利润，
从而f'（x）=12x²-112x+240=4（3x-10）（x-6）（2＜x＜6）．
令f'（x）=0，得，且在上，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增；在上，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，
所以是函数f（x）在（2，6）内的极大值点，也是最大值点，
所以当时，函数f（x）取得最大值．
故当销售价格为3.3元/套时，网校每日销售套题所获得的利润最大．
分析：（1）利用销售价格为4元/套时，每日可售出套题21千套，代入关系式，即可求得m的值；
（2）确定每日销售套题所获得的利润，利用导数的方法求最值，从而可得销售价格x的值．
点评：本题考查函数模型的构建，考查学生利用导数的知识求解最值问题，考查学生的计算能力，属于中档题．