【题目】记无穷数列的前项中最大值为,最小值为,令,则称是“极差数列”.
(1)若,求的前项和;
(2)证明:的“极差数列”仍是;
(3)求证:若数列是等差数列,则数列也是等差数列.
【答案】(1)(2)证明见解析(3)证明见解析
【解析】
(1)由是递增数列,得,由此能求出的前项和.
(2)推导出,,由此能证明的“极差数列”仍是.
(3)证当数列是等差数列时,设其公差为,,是一个单调递增数列,从而,,由,,,分类讨论,能证明若数列是等差数列,则数列也是等差数列.
(1)解:∵无穷数列的前项中最大值为,最小值为,,,
是递增数列,∴,
∴的前项和.
(2)证明:∵,
,
∴,
∴,
∵,
∴,
∴的“极差数列”仍是
(3)证明:当数列是等差数列时,设其公差为,
,
根据,的定义,得:
,,且两个不等式中至少有一个取等号,
当时,必有,∴,
∴是一个单调递增数列,∴,,
∴,
∴,∴是等差数列,
当时,则必有,∴,
∴是一个单调递减数列,∴,,
∴,
∴.∴是等差数列,
当时,,
∵,中必有一个为0,
根据上式,一个为0,为一个必为0,
∴,,
∴数列是常数数列,则数列是等差数列.
综上,若数列是等差数列,则数列也是等差数列.
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【题目】某中学2018年的高考考生人数是2015年高考考生人数的倍,为了更好地对比该校考生的升学情况,统计了该校2015年和2018年的高考情况,得到如图柱状图:
则下列结论正确的是
A. 与2015年相比,2018年一本达线人数减少
B. 与2015年相比,2018年二本达线人数增加了倍
C. 2015年与2018年艺体达线人数相同
D. 与2015年相比,2018年不上线的人数有所增加
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【题目】如图,四边形ABCD为平行四边形,点E在AB上,AE=2EB=2,且DE⊥AB.以DE为折痕把△ADE折起,使点A到达点F的位置,且∠FEB=60°.
(1)求证:平面BFC⊥平面BCDE;
(2)若直线DF与平面BCDE所成角的正切值为,求二面角E﹣DF﹣C的正弦值.
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【题目】已知四棱锥的正视图是一个底边长为4腰长为3的等腰三角形,图1、图2分别是四棱锥的侧视图和俯视图.
(1)求证:;
(2)求四棱锥的体积及侧面积.
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【题目】为了调查某大学学生的某天上网的时间,随机对名男生和名女生进行了不记名的问卷调查.得到了如下的统计结果:
表1:男生上网时间与频数分布表
上网时间(分钟) | |||||
人数 |
表2:女生上网时间与频数分布表
上网时间(分钟) | |||||
人数 |
(1)用分层抽样在选取人,再随机抽取人,求抽取的人都是女生的概率;
(2)完成下面的列联表,并回答能否有的把握认为“大学生上网时间与性别有关”?
上网时间少于分钟 | 上网时间不少于分钟 | 合计 | |
男生 | |||
女生 | |||
合计 |
附:
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【题目】在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为,(t为参数),在以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C1:ρ=2cosθ,.
(1)求C1与C2交点的直角坐标;
(2)若直线l与曲线C1,C2分别相交于异于原点的点M,N,求|MN|的最大值.
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【题目】今有6个人组成的旅游团,包括4个大人,2个小孩,去庐山旅游,准备同时乘缆车观光,现有三辆不同的缆车可供选择,每辆缆车最多可乘3人,为了安全起见,小孩乘缆车必须要大人陪同,则不同的乘车方式有_____种.(用数字作答)
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