分析 (1)当a=0时,求导数,确定函数的单调性,即可求函数f(x)的极值;
(2)若f(x)在区间[1,5]上为单调函数,则f′(x)=2ax+lnx+1≥0恒成立,或f′(x)=2ax+lnx+1≤0恒成立,分类讨论,分离参数求a的取值范围;
(3)当a=-e时,分别判断左右的最值,即可判断方程|f(x)+1|=lnx+$\frac{3}{2}$x是否有实数解.
解答 解:(1)当a=0时,因为f(x)=xlnx-1,所以f′(x)=lnx+1.
令f′(x)=lnx+1=0,解得x=$\frac{1}{e}$,…(2分)
当x∈(0,$\frac{1}{e}$)时,f′(x)<0,函数f(x)是单调递减函数,
当x∈($\frac{1}{e}$,+∞),f′(x)>0,函数f(x)是单调递增函数,
所以当x=$\frac{1}{e}$时,函数f(x)有极小值,即f($\frac{1}{e}$)=-$\frac{1}{e}$-1.…(3分)
函数f(x)无极大值. …(4分)
(2)若函数在区间[1,5]上是单调函数,
则f′(x)=2ax+lnx+1≥0恒成立,或f′(x)=2ax+lnx+1≤0恒成立,…(5分)
当f′(x)=2ax+lnx+1≥0恒成立时,
即2a≥-$\frac{lnx+1}{x}$恒成立,
令h(x)=-$\frac{lnx+1}{x}$,h′(x)=$\frac{lnx}{{x}^{2}}$,
当x∈[1,5],h′(x)>0,函数h(x)是单调递增函数,
即a≥-$\frac{ln5+1}{10}$,…(7分)
当f′(x)=2ax+lnx+1≤0恒成立时,即2a≤-$\frac{lnx+1}{x}$,
由上可知2a≤f(1)=-1,即a≤-$\frac{1}{2}$,…(9分)
综上,a≤-$\frac{1}{2}$或a≥-$\frac{ln5+1}{10}$ …(10分)
(3)因为f(x)=-ex2+xlnx-1,
所以|f(x)+1|=lnx+$\frac{3}{2}$x,即|-ex+lnx|=$\frac{lnx}{x}$+$\frac{3}{2}$ …(11分)
令p(x)=-ex+lnx,p′(x)=-e+$\frac{1}{x}$,
令p′(x)=0,即x=$\frac{1}{e}$,
当x∈(0,$\frac{1}{e}$)时,p′(x)>0,函数p(x)是单调递增函数,
当x∈($\frac{1}{e}$,+∞)时,p′(x)<0,函数p(x)是单调递减函数,
所以当x=$\frac{1}{e}$时,p(x)取最大值,p($\frac{1}{e}$)=-1-1=-2<0,所以|p(x)|>2…(13分)
令q(x)=$\frac{lnx}{x}$+$\frac{3}{2}$,q′(x)=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$,
令q′(x)=0,即x=e,
当x∈(0,e)时,q′(x)>0,函数q(x)是单调递增函数,
当x∈(e,+∞)时,q′(x)<0,函数q(x)单调递减函数,
所以当x=e时,q(x)取最大值,q(e)=$\frac{1}{e}$+$\frac{3}{2}$<2,…(15分)
所以方程|f(x)+1|=lnx+$\frac{3}{2}$x无实根. …(16分)
点评 本题考查导数知识的综合运用,考查函数的单调性极值,考查恒成立问题,考查学生分析解决问题的能力,难度大.
科目:高中数学 来源: 题型:选择题
时间 | 周一 | 周二 | 周三 | 周四 | 周五 |
车流量x(万辆) | 100 | 102 | 108 | 114 | 116 |
浓度y(微克) | 78 | 80 | 84 | 88 | 90 |
A. | $\hat y$=0.62x+7.24 | B. | $\hat y$=0.72x+6.24 | C. | $\hat y$=0.71x+6.14 | D. | $\hat y$=0.62x+6.24 |
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | $\frac{1}{3}$ | B. | $\frac{2}{3}$ | C. | $\frac{4}{9}$ | D. | $\frac{5}{9}$ |
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | $\frac{1}{9}$ | B. | $\frac{2}{9}$ | C. | $\frac{1}{3}$ | D. | $\frac{2}{3}$ |
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | M2>N | B. | M2<N | C. | M>N | D. | M<N |
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com