Question

已知函数f（x）的定义域为R，对任意的实数x₁，x₂，都有f（x₁+x₂）=f（x₁）f（x₂），且f（x）≠0．
（Ⅰ）请写出一个这样的函数f（x）；
（Ⅱ）若f（x）满足：当x＜0时，f（x）＞1，猜想函数f（x）的性质，并加以证明；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求满足f（x+4）＞

1

f(x)

的x的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先根据f（x₁+x₂）=f（x₁）•f（x₂），可知此函数可以为指数函数f（x）=2^x；
（Ⅱ）根据条件和指数函数的性质列出f（x）的几个性质，利用恒等式和单调性的定义进行证明；
（Ⅲ）由（Ⅱ）和恒等式，将不等式化为：f（x+4+x）＞f（0），再根据函数的单调性得到具体的不等式，求出x的范围．

解答：解：（Ⅰ）∵f（x₁+x₂）=f（x₁）•f（x₂），
∴满足条件函数可以是指数函数y=a^x（a＞0且a≠1），如f（x）=2^x；
（Ⅱ）类比指数函数的性质得出f（x）的几个性质：
①函数f（x）的图象过定点（0，1）；②f（x）值域是（0，+∞）；
③函数f（x）在R上是减函数．
证明：①由于f（x）=f（x+0）=f（x）f（0），而f（x）≠0，则f（0）=1；
②由于f（x）=f（

x

2

+

x

2

）=f（

x

2

）f（

x

2

）=f2(

x

2

)≥0，而f（x）≠0，则f（x）＞0；
③任取x₁，x₂，且x₁＜x₂，则x₁-x₂＜0，
∵当x＜0时，f（x）＞1，∴f（x₁-x₂）＞1，
又∵函数f（x）＞0，
∴f（x₁）=f[（x₁-x₂）+x₂]=f（x₂）f（x₁-x₂）＞f（x₂），
则f（x）为R上的减函数，
（Ⅲ）由（Ⅱ）得，f（0）=1，
∵f（x+4）＞

1

f(x)

，且f（x）＞0，
∴f（x+4）f（x）＞1，即f（x+4+x）＞f（0），
∵f（x）为R上的减函数，
∴x+4+x＜0，解得x＜-2．

点评：本题考查抽象函数的性质及其应用，以及赋值法求函数的值，指数函数的性质等，灵活利用所给的恒等式证明函数的单调性，此类题要求答题者有较高的数学思辨能力，能从所给的条件中组织出证明问题的组合来．