Question

9．设f（x）是定义在R上的增函数，其导函数为f′（x），且满足$\frac{f（x）}{f′（x）}$+x＜1，下面不等式正确的是（　　）

• A． f（x²）＜f（x-1）
• B． （x-1）f（x）＜xf（x+1）
• C． f（x）＞x-1
• D． f（x）＜0

Answer 1

分析 构造函数g（x）=（x-1）f（x），得到g（x）在R上单调递减，根据g（1）=0，得到x＞1时：f（x）＜0，从而求出答案．

解答 解：∵f（x）定义在R上的增函数，其导函数为f′（x），
∴f′（x）＞0，
∵$\frac{f（x）}{f′（x）}$+x＜1，
∴（x-1）f′（x）+f（x）＜0，
设g（x）=（x-1）f（x），
∴g′（x）=（x-1）f′（x）+f（x）＜0，
∴g（x）在R上单调递减，
∵g（1）=0，
∴当x＞1时：g（x）=（x-1）f（x）＜g（1）=0，
∴x＞1时：f（x）＜0，
又f（x）是定义在R上的增函数，
∴当x≤1时：必有f（x）＜0，
综上可知f（x）＜0，x∈R，
故选：D．

点评 本题考查了导数的应用，考查函数的单调性问题，构造函数g（x）=（x-1）f（x），根据x＞1时得到f（x）＜0是解题的关键，本题是一道中档题．