Question

函数f（x）=cos（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）为R上的奇函数，该函数的部分图象如图所表示，A，B分别为最高点与最低点，并且两点间的距离为2

2

，现有下面的3个命题：
（1）函数y=|f（x）|的最小正周期是2；
（2）函数y=f(x-

1

2

)在区间[0，1]上单调递减；
（3）直线x=1是函数y=f（x+1）的图象的一条对称轴．
其中正确的命题是

 

．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：三角函数的图像与性质,简易逻辑

分析：根据三角函数的奇偶性求出φ的值，由最高点与最低点间的距离、勾股定理求出ω的值，即求出函数的解析式，
利用y=|sinx|的周期求出函数y=|f（x）|的最小正周期，从而判断（1）；根据正弦函数的单调性判（2）；利用余弦函数的对称轴判断（3）．

解答： 解：因为函数f（x）=cos（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）为R上的奇函数，
所以φ=

π

2

，则函数f（x）=sin（ωx），
设函数f（x）=sin（ωx）的周期是T，
因为A，B分别为最高点与最低点，并且两点间的距离为2

2

，
所以(2

2

)2=22+(

T

2

)2，解得T=4，即4=

2π

ω

，则ω=

π

2

，
所以f（x）=sin（

π

2

x），
对于（1），则函数y=|f（x）|=|sin（

π

2

x）|的最小正周期是

π

π 2

=2，（1）正确；
对于（2），因为f（x）=sin（

π

2

x），所以函数y=f(x-

1

2

)=sin[

π

2

（x-

1

2

）]，
由x∈[0，1]得，

π

2

（x-

1

2

）∈[-

π

4

，

π

4

]，所以y=f(x-

1

2

)在[0，1]上递增，（2）错误；
对于（3），因为f（x）=sin（

π

2

x），所以函数y=f（x+1）=sin[

π

2

（x+1）]=cos（

π

2

x），
当x=1时，

π

2

x=

π

2

，所以直线x=1不是函数y=f（x+1）的图象的一条对称轴，（3）错误，
综上得，正确的命题是（1），
故答案为：（1）．

点评：本题考查命题真假的判断，主要利用三角函数的性质进行判断，比较综合，属于中档题．