Question

如图，平面直角坐标系中，点A、B、C在x轴上，点D、E在y轴上，OA=OD=2，
OC=OE=4，DB⊥DC，直线AD与经过B、E、C三点的抛物线交于F、G两点，与其对称轴交
于M.点P为线段FG上一个动点(与F、G不重合)，PQ∥y轴与抛物线交于点Q.

(1)求经过B、E、C三点的抛物线的解析式；
(2)是否存在点P，使得以P、Q、M为顶点的三角形与△AOD相似？若存在，求出满足条件
的点P的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)若抛物线的顶点为N，连接QN，探究四边形PMNQ的形状：①能否成为菱形；②能否成
为等腰梯形？若能，请直接写出点P的坐标；若不能，请说明理由.

Answer 1

(1) y=-（x+1）（x-4）=-x²+3x+4  (2)存在符合条件的P点 (3)存在

试题分析：（1）在R t △BDC中，OD⊥BC， 由射影定理，得：OD²=OB•OC； 则OB=OD²
÷OC=1；∴B（-1，0）； ∴B（-1，0），C（4，0），E（0，4）； 设抛物线的解析式为：
y=a（x+1）（x-4）（a≠0），则有：  a（0+1）（0-4）=4，a=-1；∴y=-（x+1）（x-4）=-x²+3x+4；
（2）因为A（-2，0），D（0，2）； 所以直线AD：y=x+2； 联立抛物线的解析式可求得F
（1- ，3- ），G（1+  ，3+  ）； 设P点坐标为（x，x+2）（1-  ＜x＜
1+ ），则Q（x，-x²+3x+4）； ∴PQ=-x²+3x+4-x-2=-x²+2x+2； 易知M（ ， ）。 若
以P、Q、M为顶点的三角形与△AOD相似，则△PQM为等腰直角三角形； ①以M为直
角顶点，PQ为斜边，则P（2-  ，4-  ）； ②以Q为直角顶点，PM为斜边；
P（ ， ）故存在符合条件的P点，且P点坐标为（2-  ，4-  ）
或（ ， ）；（3）易知N（ ， ），M（ ， ）； 设P点
坐标为（m，m+2）， 则Q（m，-m²+3m+4）；（1- ＜m＜1+  ） ∴PQ=-m²+2m+2，
NM= ； ①若四边形PMNQ是菱形，则首先四边形PMNQ是平行四边形，有： MN=PQ，
即：-m2+2m+2=  ， 解得m= ，m= （舍去）；当m= 时，P（ ， ），Q
（ ， ） 此时PM≠MN，故四边形PMNQ不可能是菱形； ②由于当NQ∥PM时，
四边形PMNQ是平行四边形，所以若四边形PMNQ是梯形，只有一种情况：PQ∥MN，此
时P点坐标为（ ， ）．
∴四边形PMNQ可以是等腰梯形，且P点坐标为（ ， ）．
点评：此题是二次函数的综合题，考查的知识点有：直角三角形的性质，二次函数的确定，
等腰三角形、菱形、等腰梯形的判定和性质等，同时还考查了分类讨论的数学思想；要特别
注意的是在判定梯形的过程中，不要遗漏证明另一组对边不平行的条件．