Question

（2013•河东区二模）已知函数f（x）=sinxcos?+cosxsin?（其中x∈R，0＜φ＜π），且函数y=f(2x+

π

4

)的图象关于直线x=

π

6

对称．
（I）求f（x）的最小正周期及φ的值；
（Ⅱ）若f(α-

2π

3

)=

2

4

，求sin2α的值．

Answer 1

分析：（I）f（x）解析式利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，求出最小正周期，由确定出的函数解析式，利用对称轴公式列出关系式，将x=

π

6

代入即可求出φ的值；
（Ⅱ）由第一项确定的函数解析式，根据已知的等式，整理后利用两角和与差的正弦函数公式化简，两边平方后，利用同角三角函数间的基本关系及二倍角的正弦函数公式即可求出sin2α的值．

解答：解：（I）∵f（x）=sin（x+φ），∴f（x）的最小正周期为2π，
∵y=f（2x+

π

4

）=sin（2x+

π

4

+φ），y=sinx的对称轴为x=kπ+

π

2

（k∈Z），
∴令2x+

π

4

+φ=kπ+

π

2

，将x=

π

6

代入得：φ=kπ-

π

12

（k∈Z），
∵0＜φ＜π，∴φ=

11π

12

；
（Ⅱ）∵f（α-

2π

3

）=sin（α-

2π

3

+

11π

12

）=sin（α+

π

4

）=

2

2

（sinα+cosα）=

2

4

，
∴sinα+cosα=

1

2

，
两边平方得：1+2sinαcosα=1+sin2α=

1

4

，
则sin2α=-

3

4

．

点评：此题考查了三角函数的周期性及其求法，以及三角函数的恒等变换，熟练掌握公式是解本题的关键．