Question

17．已知函数f（x）=x³+x，若$2+f（{log_{\frac{1}{a}}}2）＞0$，则实数a的取值范围是（0，1）∪（2，+∞）．

Answer 1

分析 根据题意，易知函数f（x）是奇函数且为R上的增函数，且f（1）=2，所以不等式$2+f（{{{log}_{\frac{1}{a}}}2}）＞0$可化为f（log_a2）＜f（1），即log_a2＜1．对a的范围分2种情况讨论：①0＜a＜1时，②a＞1时，分别求出a的范围，综合可得答案．

解答 解：根据题意，对于f（x）=x³+x，其定义域为R，
有f（-x）=-（x³+x）=-f（x），即f（x）为奇函数，
又由f′（x）=3x²+1＞0，则函数f（x）为增函数，
若$2+f（{log_{\frac{1}{a}}}2）＞0$，则有f（log_a2）＜f（1），
即log_a2＜1；
当0＜a＜1时，log_a2＜0，则log_a2＜1恒成立，
当a＞1时，log_a2＜1⇒a＞2，
综合可得：a的取值范围是（0，1）∪（2，+∞）；
故答案为：（0，1）∪（2，+∞）．

点评 本题考查函数奇偶性与单调性的综合运用，解题的关键是分析出函数f（x）的奇偶性与单调性．