Question

已知函数（为常数，是自然对数的底数）是实数集上的奇函数．
（1）求的值；
（2）试讨论函数的零点的个数．

Answer 1

（1）a=0
(2) ①当时，方程无解．函数没有零点；
②当时，方程有一个根．函数有1个零点
③当时，方程有两个根．函数有2个零点

试题分析：解：（1）是奇函数，则恒成立．
∴ 即
∴                              -4分
（2）由（1）知
∴讨论函数的零点的个数,即讨论方程根的个数.                                            6分
令，，
当上为增函数；
当上为减函数，
∴当时， 
而，           8分
、在同一坐标系的大致图象如图所示，

∴①当时，方程无解．函数没有零点；           10分
②当时，方程有一个根．函数有1个零点    11分
③当时，方程有两个根．函数有2个零点    12分
点评：解决的关键是根据函数奇偶性以及函数零点的概念来求解运用，属于基础题。