Question

【题目】已知函数f（x）=|x﹣2|+|2x+1|．
（Ⅰ）解不等式f（x）＞5；
（Ⅱ）若关于x的方程 =a的解集为空集，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）解不等式|x﹣2|+|2x+1|＞5， x≥2时，x﹣2+2x+1＞5，解得：x＞2；
﹣ ＜x＜2时，2﹣x+2x+1＞5，无解，
x≤﹣ 时，2﹣x﹣2x﹣1＞5，解得：x＜﹣ ，
故不等式的解集是（﹣∞，﹣ ）∪（2，+∞）；
（Ⅱ）f（x）=|x﹣2|+|2x+1|= ，
故f（x）的最小值是 ，所以函数f（x）的值域为[ ，+∞），
从而f（x）﹣4的取值范围是[﹣ ，+∞），
进而 的取值范围是（﹣∞，﹣ ]∪（0，+∞）．
根据已知关于x的方程 =a的解集为空集，所以实数a的取值范围是（﹣ ，0]．
【解析】（Ⅰ）分类讨论求得原不等式解集．（Ⅱ）由分段函数f（x）的解析式可得f（x）的单调性，由此求得函数f（x）的值域，求出 的取值范围．再根据关于x的方程 =a的解集为空集，求得实数a的取值范围．
【考点精析】本题主要考查了绝对值不等式的解法的相关知识点，需要掌握含绝对值不等式的解法：定义法、平方法、同解变形法，其同解定理有；规律：关键是去掉绝对值的符号才能正确解答此题．