Question

16．在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，棱长为L，G、E、F分别为AA₁、AB、BC的中点，求平面GEF的一个法向量．

Answer 1

分析 如图所示，建立空间直角坐标系，利用线面垂直的性质、向量与数量积的关系即可得出．

解答 解：如图所示，
A（L，0，0），B（L，L，0），C（0，L，0），A₁（L，0，L），
G$（L，0，\frac{L}{2}）$，E$（L，\frac{L}{2}，0）$，F$（\frac{L}{2}，L，0）$．
∴$\overrightarrow{EF}$=$（-\frac{L}{2}，\frac{L}{2}，0）$，$\overrightarrow{GE}$=$（0，\frac{L}{2}，-\frac{L}{2}）$．
设平面GEF的一个法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z）．
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{EF}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{GE}=0}\end{array}\right.$，∴$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{L}{2}x+\frac{L}{2}y=0}\\{\frac{L}{2}y-\frac{L}{2}z=0}\end{array}\right.$，取$\overrightarrow{n}$=（1，1，1）．

点评 本题考查了线面垂直的性质、向量与数量积的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．