Question

已知动圆M过定点P（0，m）（m＞0），且与定直线l₁：y=-m相切，动圆圆心M的轨迹为C，直线l₂过点P交曲线C于A，B两点．
（1）求曲线C的方程．（2）若l₂交x轴于点S，且，求l₂的方程．（3）若l₂的倾斜角为30°，在l₁上是否存在点E使△ABE为正三角形？若能，求点E的坐标；若不能，说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）依题意，曲线C是以点P为焦点，直线l₁为准线的抛物线，由此可知曲线C的方程．
（2）由题意知k存在且k≠0，设l₂方程为y=kx+m，代入x²=4my由消去y得x²-4mkx-4m²=0
设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），则x₁+x₂=4mk，x₁x₂=-4m²，由题设条件知，l₂方程为．
（3）由题设知l₂方程为代入x²=4my，消去y得：，，假设存在点E（x，-m），使△ABE为正三角形，则|BE|=|AB|=|AE|，由此导出，所以直线l上不存在点E，使得△ABE是正三角形．
解答：解：（1）依题意，曲线C是以点P为焦点，直线l₁为准线的抛物线，
所以曲线C的方程为x²=4my
（2）由题意知k存在且k≠0
设l₂方程为y=kx+m，代入x²=4my由消去y得x²-4mkx-4m²=0
设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），则x₁+x₂=4mk，x₁x₂=-4m²=
所以，l₂方程为
（3）由（Ⅰ）知l₂方程为代入x²=4my，消去y得：，
假设存在点E（x，-m），使△ABE为正三角形，则|BE|=|AB|=|AE|
由|BE|=|AE|
即，
化简得
因为，则
因此，直线l上不存在点E，使得△ABE是正三角形．
点评：本题考查直线和圆锥曲线的位置关系，难度较大，解题时要认真审题，注意公式的灵活运用，合理地进行等价转化．