Question

12．已知数列{a_n}，若a₁，a₂+1，a₃成等差数列，数列{a_n+1}为公比为2的等比数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）数列{b_n}满足b_n=a_n•log₂（a_n+1）（n∈N^*），其前n项和为T_n，试求满足T_n+$\frac{{n}^{2}+n}{2}$＞2015的最小正整数n．

Answer 1

分析 （I）由a₁，a₂+1，a₃成等差数列，数列{a_n+1}为公比为2的等比数列．可得2（a₂+1）=a₁+a₃，a_n+1=$（{a}_{1}+1）•{2}^{n-1}$．解得a₁，a₂．即可得出．
（II）b_n=a_n•log₂（a_n+1）=n•2ⁿ-n，利用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出．

解答 解：（I）∵a₁，a₂+1，a₃成等差数列，数列{a_n+1}为公比为2的等比数列．
∴2（a₂+1）=a₁+a₃，a_n+1=$（{a}_{1}+1）•{2}^{n-1}$．
∴2（a₂+1）=a₁+a₃，a₂+1=2（a₁+1），a₃+1=4（a₁+1）．
解得a₁=1，a₂=3．
∴a_n=2ⁿ-1．
（II）b_n=a_n•log₂（a_n+1）=n（2ⁿ-1）=n•2ⁿ-n，
设数列{n•2ⁿ}的前n项和为A_n，
则A_n=2+2×2²+3×2³+…+n•2ⁿ，
2A_n=2²+2×2³+…+（n-1）•2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹，
∴-A_n=2+2²+2³+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹=$\frac{2（{2}^{n}-1）}{2-1}$-n•2ⁿ⁺¹，
化为：A_n=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2．
∴T_n=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2-$\frac{n（n+1）}{2}$．
∴T_n+$\frac{{n}^{2}+n}{2}$＞2015，（n-1）•2ⁿ⁺¹+2＞2015，n≥8．
∴满足T_n+$\frac{{n}^{2}+n}{2}$＞2015的最小正整数n=8．

点评 本题考查了等差数列与等比数列通项公式与求和公式、“错位相减法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．