有5位同学相约参加某一电视娱乐节目.其中有2人已经参加过.另外3人没有参加过．(1)从这些同学中随机选出2人.求这两位同学中至少有一位参加过此节目的概率．(2)若参加此节目需要预选.参加过此节目的同学通过的概率为$\frac{1}{2}$.没有参加过的同学通过预选的概率是$\frac{1}{3}$.记通过预选的人数为X．求X的分布列和数学期望� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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20．有5位同学相约参加某一电视娱乐节目，其中有2人已经参加过，另外3人没有参加过．
（1）从这些同学中随机选出2人，求这两位同学中至少有一位参加过此节目的概率．
（2）若参加此节目需要预选，参加过此节目的同学通过的概率为$\frac{1}{2}$，没有参加过的同学通过预选的概率是$\frac{1}{3}$，记通过预选的人数为X．求X的分布列和数学期望．

分析（1）先求出两人都没有参加节目的概率，再由对立事件的概率公式能求出这两位同学中至少有一位参加过此节目的概率．
（2）由题意得通过预选的人数X的可能取值为0，1，2，3，4，5，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望．

解答解：（1）从这5名同学中随机选出2人，共有${C}_{5}^{2}$=10种情况，
从这5名同学中随机选两人，且两人都没有参加过此节目的情况有${C}_{3}^{2}$=3种，
∴这两位同学中至少有一位参加过此节目的概率：
p=1-$\frac{{C}_{3}^{2}}{{C}_{5}^{2}}$=0.7．
（2）由题意得通过预选的人数X的可能取值为0，1，2，3，4，5，
P（X=0）=$（\frac{1}{2}）^{2}（\frac{2}{3}）^{3}$=$\frac{8}{108}$，
P（X=1）=（${C}_{2}^{1}（\frac{1}{2}）^{2}（\frac{2}{3}）^{3}+（\frac{1}{2}）^{2}{C}_{3}^{1}（\frac{1}{3}）$$（\frac{2}{3}）^{2}=\frac{28}{108}$，
P（X=2）=${C}_{2}^{2}（\frac{1}{2}）^{2}（\frac{2}{3}）^{3}$+$（\frac{1}{2}）^{2}{C}_{3}^{2}（\frac{1}{2}）^{2}•\frac{2}{3}$+${C}_{2}^{1}（\frac{1}{2}）^{2}{C}_{3}^{1}（\frac{2}{3}）^{3}$$•\frac{1}{3}$=$\frac{38}{108}$，
P（X=3）=${C}_{2}^{2}（\frac{1}{2}）^{2}{C}_{3}^{1}（\frac{2}{3}）^{2}•\frac{1}{3}+{C}_{2}^{1}（\frac{1}{2}）^{2}$$•{C}_{3}^{2}（\frac{1}{3}）^{2}•\frac{2}{3}$+$（\frac{1}{2}）^{2}{C}_{3}^{3}（\frac{1}{3}）^{3}$=$\frac{25}{108}$，
P（X=4）=${C}_{2}^{2}（\frac{1}{2}）^{2}{C}_{3}^{2}（\frac{1}{3}）^{2}+{C}_{2}^{1}（\frac{1}{2}）^{2}$$•{C}_{3}^{3}（\frac{1}{3}）^{3}$=$\frac{8}{108}$，
P（X=5）=${C}_{2}^{2}（\frac{1}{2}）^{2}{C}_{3}^{3}（\frac{1}{3}）^{3}$=$\frac{1}{108}$，
∴X的分布列为：

X	0	1	2	3	4	5
P	$\frac{8}{108}$	$\frac{28}{108}$	$\frac{38}{108}$	$\frac{25}{108}$	$\frac{8}{108}$	$\frac{1}{108}$

∴EX=$0×\frac{8}{108}+1×\frac{28}{108}+2×\frac{38}{108}+3×\frac{25}{108}$+$4×\frac{8}{108}+5×\frac{1}{108}$=2．

点评本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，在历年高考中都是必考题型之一．

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