Question

8．已知A（2，2，0），B（1，4，2），C（0，0，5），求原点O到平面ABC的距离．

Answer 1

分析 由已知得$\overrightarrow{CA}$=（2，2，0），$\overrightarrow{CB}$=（1，4，2），$\overrightarrow{OA}$=（0，0，5），设平面ABC的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），则$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CA}=x+y-2z=0\\ \overrightarrow{n}•\overrightarrow{CB}=x+2y-z=0\end{array}\right.$，由此利用向量法能求出原点O到平面ABC的距离．

解答 解：∵A（2，2，0），B（1，4，2），C（0，0，5），
∴$\overrightarrow{CA}$=（2，2，-5），$\overrightarrow{CB}$=（1，4，-3），$\overrightarrow{OA}$=（2，2，0），
设平面ABC的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CA}=2x+2y-5z=0\\ \overrightarrow{n}•\overrightarrow{CB}=x+4y-3z=0\end{array}\right.$，
取z=1，则x=$\frac{7}{3}$，y=$\frac{1}{6}$，取$\overrightarrow{n}$=（14，1，6），
∴原点O到平面ABC的距离d=$\frac{|\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{n}|}{\left|\overrightarrow{n}\right|}$=$\frac{|28+2|}{\sqrt{{14}^{2}+{1}^{2}+{6}^{2}}}$=$\frac{30}{\sqrt{233}}$=$\frac{30\sqrt{233}}{233}$．
故答案为：$\frac{30\sqrt{233}}{233}$．

点评 本题考查点到平面的距离的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．