Question

已知：函数f（x）=

|x+1|+|x-2|-m

（1）当m=5时，求函数f（x）的定义域；
（2）若关于x的不等式f（x）≥

2

的解集是R，求m的取值范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题,函数的定义域及其求法

专题：综合题,函数的性质及应用

分析：（Ⅰ）当m=5时，由题意丨x+1丨+丨x-2丨-5≥0，把不等式转化为与之等价的三个不等式组，求得不等式组的解集，再取并集，即得所求．
（Ⅱ）由题意可得丨x+1丨+丨x-2丨-m的最小值大于或等于2，由绝对值三角不等式可得丨x+1丨+丨x-2丨-m的最小值为3，可得3-m≥2，从而求得m的范围．

解答： 解：（Ⅰ）当m=5时，由题意丨x+1丨+丨x-2丨-5≥0，
∴

x≥2 x+1+x-2-5≥0

①，或 

-1≤x＜2 x+1-x+2-5≥0

②，或

x＜-1 -x-1-x+2-5≥0

③．
解①求得x≥3，解②求得x∈∅，解③求得x≤-2，
∴函数f（x）的定义域为（-∞，2]∪[3，+∞）；
（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）≥2的解集是R，即 丨x+1丨+丨x-2丨≥2+m 的解集为R．
而丨x+1丨+丨x-2丨≥|（x+1）-（x-2）|=3，
故有 3≥2+m，即 m≤1，
故m的范围为（-∞，1]．

点评：本题主要考查绝对值不等式的解法，绝对值三角不等式，体现了等价转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．