Question

设函数f（x）=

1

4

x2+bx-

3

4

．已知不论α，β为何实数，恒有f（cosα）≤0，f（2-sinβ）≥0．对于正项数列{a_n}，其前n项和为S_n=f（a_n）n∈N^*．
（1）求实数b；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）若C_n=

1

(1+an)2

(n∈N+)且数列{Cn}的前n项和为Tn，比较Tn与

1

6

的大小，并说明理由．

Answer 1

分析：（1）由于α，β为何实数，得出cosα，2-sinβ的取值范围，再根据f（cosα）≤0，f（2-sinβ）≥0，可知f（1）=0求得b．
（2）根据函数解析式分别表示出S_n和S_n-1，进而根据a_n=S_n-S_n-1整理得（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0进而判断出a_n-a_n-1=2，推断数列{a_n}是等差数列，求得a₁利用等差数列的通项公式求得a_n．
（3）把（2）中求得c_n，利用裂项法求得T_n=

1

2

(

1

3

-

1

2n+3

)进而可证明T_n＜

1

6

．

解答：解：（1）∵cosα∈[-1，1]，sinβ∈[-1，1]，2-sinβ∈[1，3]
不论α、β为何实数恒有  f（cosα）≤0，f（2-sinβ）≥0
即对x∈[-1，1]有f（x）≤0对x∈[1，3]有f（x）≥0
∴x=1时f（1）=0
（2）∵Sn=f(an)=

1

4

a

2 n

+

1

2

an-

3

4

⇒Sn-1=

1

4

a

2 n-1

+

1

2

an-1-

3

4

∴n≥2时Sn-Sn-1=an=

1

4

(

a

2 n

-

a

2 n-1

)+

1

2

(an-an+1)
∴（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0∵a_n＞0∴a_n-a_n-1=2
∴{a_n}是首项为a，公差为2的等数列
由a1=S1代入方程a1=

1

4

a

2 1

+

1

2

a1-

3

4

⇒

a

2 1

-2a1-3=0
∴a₁=3∴a_n=3+2（n-1）=2n+1
（3）∵Cn=

1

(1+2n+1)2

=

1

(2n+2)2

＜

1

(2n+2)2-1

=

1

2

(

1

2n+1

-

1

2n+3

)
∴Tn=C1+C2+…+Cn＜

1

2

[

1

3

-

1

5

+

1

5

-

1

7

+…+

1

2n+1

-

1

2n+3

]=

1

2

(

1

3

-

1

2n+3

)=

1

6

-

1

2(2n+3)

＜

1

6

点评：本题主要考查等差数列的通项公式的应用．涉及了数列的求和、不等式等问题，考查了学生解决实际问题的能力．