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【题目】正整数的所有约数之和用表示,(比如).试答下列各问:

(1)证明:如果互质,那么

(2)当的约数(),且.试证是质数.其次,如果是正整数,是质数,试证也是质数;

(3)设为正整数,为奇数),且.试证存在质数,使得.

【答案】(1)见解析(2)见解析(3) 为质数)

【解析】

(1)设的约数为的约数为.互质,故的约数是).

.

(2)因,1的约数,如果,则,故.因此仅当时,才能有,亦即对来说,除1之外再无约数,故为质数.一般地,由

如果,则

它的任何一个因数也不为1,因此非质数.

(3)因为互质.

.

另一方面,由

因为是奇数,故是奇数),由①得,亦即的约数.,因此,由此引用(2)的前半部,为质数.

是质数,

是质数.

综合以上可得为质数).

练习册系列答案
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(附,其中为样本均值)

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