【题目】已知函数().
(1)当时,求函数的零点;
(2)求的单调区间;
(3)当时,若对恒成立,求的取值范围.
【答案】(1)两个零点,;
(2)当时,的单调递增区间为,单调递减区间为,当时,的单调递增区间为,单调递减区间为,当时,的单调递减区间为,没有单调递增区间,当时,的单调递增区间为,单调递减区间为;
(3).
【解析】
试题分析:(1)令,即,即,将代入可求得两根为,;(2),对分成,,,四类来讨论函数的单调区间;(3)当时,当时,,当时,由(2)可知函数在时取得最小值,故,解得.
试题解析:
(1)令,即,∵,∴.
,∵,∴.
∴方程有两个不等实根:,.
∴当时,函数有且只有两个零点,.
(2).
令,即,解得或.
当时,列表得:
单调递增 | 极大值 | 单调递减 | 极小值 | 单调递增 |
当时,
①若,则,列表得:
单调递减 | 极小值 | 单调递增 | 极大值 | 单调递减 |
②若,易知的单调减区间为;
③若,则,列表得:
单调递减 | 极小值 | 单调递增 | 极大值 | 单调递减 |
综上,当时,的单调递增区间为,单调递减区间为;
当时,的单调递增区间为,单调递减区间为;
当时,的单调递减区间为,没有单调递增区间;
当时,的单调递增区间为,单调递减区间为.
(3)∵, ∴当时,有,,,∴,从而.
当时,由(2)可知函数在时取得最小值.
∴为函数在上的最小值.
∴,解得.
∴的取值范围是.
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【题目】下列调查方式中合适的是( )
A.要了解一批节能灯的使用寿命,采用普查方式
B.调查你所在班级同学的身高,采用抽样调查方式
C.调查沱江某段水域的水质情况,采用抽样调查方式
D.调查全市中学生每天的就寝时间,采用普查方式
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【题目】已知椭圆的顶点到左焦点的距离为,离心率.
(1)求椭圆的方程;
(2)若点为椭圆的右頂点,过点作互相垂直的两条射线,与椭圆分別交于不同的两点不与左、右顶点重合) ,试判断直线是否过定点,若过定点,求出该定点的坐标;若不过定点,请说明理由.
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【题目】某市四所中学报名参加某高校今年自主招生的学生人数如下表所示:
中学 | ||||
人数 |
为了了解参加考试的学生的学习状况,该高校采用分层抽样的方法从报名参加考试的四所中学的学生当中随机抽取50名参加问卷调查.
(1)问四所中学各抽取多少名学生?
(2)在参加问卷调查的名学生中,从来自两所中学的学生当中随机抽取两名学生,用表示抽得中学的学生人数,求的分布列,数学期望和方差.
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【题目】某校从参加某次知识竞赛的同学中,选取60名同学将其成绩(百分制)(均为整数)分成6组后,得到部分频率分布直方图(如图),观察图形中的信息,回答下列问题.
(1)求分数在[70,80)内的频率,并补全这个频率分布直方图;
(2)从频率分布直方图中,估计本次考试的平均分;
(3)若从60名学生中随机抽取2人,抽到的学生成绩在[40,70)记0分,在[70,100]记1分,用X表示抽取结束后的总记分,求X的分布列和数学期望.
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【题目】为调查甲、乙两校高三年级学生某次联考数学成绩情况,用简单随机抽样,从这两校中各抽取30名高三年级学生,以他们的数学成绩(百分制)作为样本,样本数据的茎叶图如图.
(1)若甲校高三年级每位学生被抽取的概率为0.05,求甲校高三年级学生总人数,并估计甲校高三年级这次联考数学成绩的及格率(60分及60分以上为及格);
(2)设甲、乙两校高三年级学生这次联考数学平均成绩分别为1,2,估计1-2的值.
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【题目】下列命题正确的是( )
A.若两条直线和同一个平面所成的角相等,则这两条直线平行
B.若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行
C. 若一条直线平行于两个相交平面,则这条直线与这两个平面的交线平行
D.若两个平面都垂直于第三个平面,则这个两个平面平行
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