Question

【题目】已知数列{an}的前n项和为Sn（n∈N*），且满足an+2Sn=2n+2．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）求证： ．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵an+2Sn=2n+2，令n=1，得 ．

由an+2Sn=2n+2得 n≥2时，an﹣1+2Sn﹣1=2（n﹣1）+2，

两式相减得；3an=an﹣1+2，

∴ ，

∴数列{an﹣1}是以首项为 ，公比为 的等比数列，

∴ ，∴ ．

（2）证明：

∵ = ，

∴

= = =

【解析】（1）由an+2Sn=2n+2，利用递推关系可得：3an=an﹣1+2，变形为 ，再利用等比数列的通项公式即可得出．（2）利用“裂项求和”方法与数列的单调性即可得出．
【考点精析】本题主要考查了数列的通项公式的相关知识点，需要掌握如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式才能正确解答此题．