Question

1．已知点（a，b）与点（2，0）位于直线2x+3y-1=0的同侧，且a＞0，b＞0，则z=$\frac{4b+1}{4a-1}$的取值范围是（　　）

• A． （-$\frac{7}{3}$，1）
• B． （$-∞，-\frac{7}{3}$）∪（1，+∞）
• C． （$-∞，-\frac{7}{3}$）∪（0，+∞）
• D． （$-\frac{7}{3}$，0）

Answer 1

分析 根据题意求出2a+3b-1＞0，画出不等式组$\left\{\begin{array}{l}{2a+3b-1＞0}\\{a＞0}\\{b＞0}\end{array}\right.$表示的平面区域，再化简z，
根据图形，利用直线的斜率求出z的取值范围．

解答 解：∵点（a，b）和（2，0）在直线2x+3y-1=0的同侧，
∴（2a+3b-1）（4+0-1）＞0，
即2a+3b-1＞0；
又a＞0，且b＞0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2a+3b-1＞0}\\{a＞0}\\{b＞0}\end{array}\right.$；
且z=$\frac{4b+1}{4a-1}$=$\frac{b-（-\frac{1}{4}）}{a-\frac{1}{4}}$，．
画出不等式组表示的平面区域，
设P（$\frac{1}{4}$，-$\frac{1}{4}$），A（$\frac{1}{2}$，0），B（0，$\frac{1}{3}$），如图所示；
计算k_PB=$\frac{\frac{1}{3}+\frac{1}{4}}{0-\frac{1}{4}}$=-$\frac{7}{3}$，
∴z＜-$\frac{7}{3}$，
又根据图形得，z＞0，
∴z∈（-∞，-$\frac{7}{3}$）∪（0，+∞）．
故选：C．

点评 本题考查了不等式组表示平面区域的应用问题，也考查了直线斜率的应用问题，是综合性题目．