Question

长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的侧棱AA₁=a，底面ABCD的边长AB=2a，BC=a，E为C₁D₁的中点；
（1）求证：DE⊥平面BCE；
（2）求二面角E-BD-C的正切值．

Answer 1

分析：（1）因为AA₁=a，AB=2a，BC=a，E为C₁D₁的中点；所以DE⊥CE，结合线段的长度关系可得DE⊥EB，进而证明线面垂直．
（2）取DC的中点F，则EF⊥平面BCD，作FH⊥BD于H，连EH，则∠EHF就是二面角E-BD-C的平面角，然后把二面角放入三角形中利用解三角形的有关知识解决问题．

解答：解：（1）∵AA₁=a，AB=2a，BC=a，E为C₁D₁的中点；
∴DE=CE=

2

a，?DE⊥CE，
又∵DB=

5

a，EB=

3

a，
∴DE⊥EB，
又因为CE∩EB=E
所以DE⊥平面BCE
（2）取DC的中点F，则EF⊥平面BCD，作FH⊥BD于H，连EH，
则∠EHF就是二面角E-BD-C的平面角，
由题意得EF=a，
在Rt△DFH中，HF=

5

5

a
所以tan∠EHF=

5

．

点评：解决此类问题的关键是熟练掌握几何体的结构特征与几何体的线段长度关系，进而解决线面平行与垂直问题，以及空间角与空间距离等问题．