【题目】如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为2的菱形,∠ABC=60°,为正三角形,且侧面PAB⊥底面ABCD, 为线段的中点, 在线段上.
(I)当是线段的中点时,求证:PB // 平面ACM;
(II)求证: ;
(III)是否存在点,使二面角的大小为60°,若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.
【答案】(Ⅰ)见解析;(Ⅱ)见解析;(Ⅲ)当时,二面角的大小为60°.
【解析】试题分析:(1) 连接BD交AC于H点,由三角形中位线性质得MH // BP ,再根据线面平行判定定理得结论(2)由面面垂直性质定理得PE⊥平面ABCD,即得;(3)先根据条件建立空间直角坐标系,设列各点坐标,由方程组解得各面法向量,根据向量数量积求法向量夹角,再根据二面角与法向量之间关系列方程,解得的值
试题解析:(I)证明:连接BD交AC于H点,连接MH,
因为四边形ABCD是菱形,
所以点H为BD的中点.
又因为M为PD的中点,
所以MH // BP.
又因为 BP 平面ACM, 平面ACM.
所以 PB // 平面ACM.
(II)证明:因为为正三角形,E为AB的中点,
所以PE⊥AB .
因为平面PAB⊥平面ABCD,平面PAB∩平面ABCD=AB,PE平面PAB,
所以PE⊥平面ABCD.
又因为平面,
所以.
(Ⅲ) 因为ABCD是菱形,∠ABC=60°,E是AB的中点,
所以CE⊥AB .
又因为PE⊥平面ABCD,
以为原点,分别以为轴,
建立空间直角坐标系,
则, ,
, , .
假设棱上存在点,设点坐标为, ,
则,
所以,
所以, ,
设平面的法向量为,则
,解得.
令,则,得.
因为PE⊥平面ABCD,
所以平面ABCD的法向量,
所以.
因为二面角的大小为60°,
所以,
即,
解得,或(舍去)
所以在棱PD上存在点,当时,二面角的大小为60°.
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【题目】已知函数, ,其中为自然对数的底数.
(Ⅰ)讨论函数的单调性.
(Ⅱ)试判断曲线与是否存在公共点并且在公共点处有公切线.若存在,求出公切线的方程;若不存在,请说明理由.
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【题目】如图,在四棱锥中, 是等边三角形, 为的中点,四边形为直角梯形, .
(1)求证:平面平面;
(2)求四棱锥的体积;
(3)在棱上是否存在点,使得平面?说明理由.
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【题目】已知点, , 是直线上任意一点,以为焦点的椭圆过点,记椭圆离心率关于的函数为,那么下列结论正确的是
A. 与一一对应 B. 函数是增函数
C. 函数无最小值,有最大值 D. 函数有最小值,无最大值
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【题目】已知椭圆过, 两点.
(1)求椭圆的方程及离心率;
(2)设点在椭圆上.试问直线上是否存在点,使得四边形是平行四边形?若存在,求出点的坐标;若不存在,说明理由.
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