【题目】知 =(2λsinx,sinx+cosx), =( cosx,λ(sinx﹣cosx))(λ>0),函数f(x)= 的最大值为2.
(1)求函数f(x)的单调递减区间;
(2)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,cosA= ,若f(A)﹣m>0恒成立,求实数m的取值范围.
【答案】
(1)解:函数 = λsin2x﹣λcos2x
=2λ( sin2x﹣ cos2x)=2λsin(2x﹣ ),
因为f(x)的最大值为2,所以解得λ=1,则 .
由 ,
可得: , ,
所以函数f(x)的单调减区间为 ,k∈Z.
(2)解:由 .可得2b2﹣ab=b2+c2﹣a2,
即b2+a2﹣c2=ab,解得 ,即 .
因为 ,∴ , .
因为 恒成立,则 恒成立,即m≤﹣1.
【解析】(1)利用两个向量的数量积公式,三角恒等变换,求得f(x)的解析式,再利用正弦函数的单调性,求函数f(x)的单调递减区间.(2)利用余弦定理求得cosC的值,可得C的值,再利用正弦函数的定义域和值域,求得f(A)的最小值,可得m的范围.
【考点精析】掌握余弦定理的定义是解答本题的根本,需要知道余弦定理:;;.
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【题目】体积为 的正三棱锥A﹣BCD的每个顶点都在半径为R的球O的球面上,球心O在此三棱锥内部,且R:BC=2:3,点E为线段BD上一点,且DE=2EB,过点E作球O的截面,则所得截面圆面积的取值范围是( )
A.[4π,12π]
B.[8π,16π]
C.[8π,12π]
D.[12π,16π]
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【题目】2016世界特色魅力城市200强新鲜出炉,包括黄山市在内的28个中国城市入选.美丽的黄山风景和人文景观迎来众多宾客.现在很多人喜欢自助游,某调查机构为了了解“自助游”是否与性别有关,在黄山旅游节期间,随机抽取了100人,得如下所示的列联表:
赞成“自助游” | 不赞成“自助游” | 合计 | |
男性 | 30 | ||
女性 | 10 | ||
合计 | 100 |
(1)若在100这人中,按性别分层抽取一个容量为20的样本,女性应抽11人,请将上面的列联表补充完整(在答题卡上直接填写结果,不需要写求解过程),并据此资料能否在犯错误的概率不超过0.05前提下,认为赞成“自助游”是与性别有关系?
(2)若以抽取样本的频率为概率,从旅游节游客中随机抽取3人赠送精美纪念品,记这3人中赞成“自助游”人数为X,求X的分布列和数学期望. 附:K2=
P(K2≥k) | 0.100 | 0.050 | 0.010 | 0.001 |
k | 2.706 | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
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【题目】[选修4-4:坐标系与参数方程]设在平面上取定一个极坐标系,以极轴作为直角坐标系的x轴的正半轴,以θ= 的射线作为y轴的正半轴,以极点为坐标原点,长度单位不变,建立直角坐标系,已知曲线C的直角坐标方程为x2+y2=2,直线l的参数方程 (t为参数).
(1)写出直线l的普通方程与曲线C的极坐标方程;
(2)设平面上伸缩变换的坐标表达式为 ,求C在此变换下得到曲线C'的方程,并求曲线C′内接矩形的最大面积.
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【题目】渝州集团对所有员工进行了职业技能测试从甲、乙两部门中各任选10名员工的测试成绩(单位:分)数据的茎叶图如图所示.
(1)若公司决定测试成绩高于85分的员工获得“职业技能好能手”称号,求从这20名员工中任选三人,其中恰有两人获得“职业技能好能手”的概率;
(2)公司结合这次测试成绩对员工的绩效奖金进行调整(绩效奖金方案如表),若以甲部门这10人的样本数据来估计该部门总体数据,且以频率估计概率,从甲部门所有员工中任选3名员工,记绩效奖金不小于3a的人数为ξ,求ξ的分布列及数学期望.
分数 | [60,70) | [70,80) | [80,90) | [90,100] |
奖金 | a | 2a | 3a | 4a |
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【题目】已知在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为 (θ为参数),在以原点O为极点,以x轴正半轴为极轴,且与直角坐标系有相同的长度单位的极坐标系中,直线l的方程为ρsin(θ+ )=2 .
(1)求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程;
(2)求直线l被曲线C截得的弦长.
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【题目】已知函数f(x)与g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数,且f(x)﹣g(x)=x3﹣2﹣x , 则f(2)+g(2)=( )
A.4
B.﹣4
C.2
D.﹣2
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