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12.如图,在几何体SABCD中,AD⊥平面SCD,BC∥AD,AD=DC=2,BC=1,又SD=2,∠SDC=120°,F是SA的中点,E在SC上,AE=5
(Ⅰ)求证:EF∥平面ABCD;
(Ⅱ)求直线SE与平面SAB所成角的正弦值.

分析 (I)连接AE,DE,AC,利用勾股定理计算DE得出E为SC的中点,再由中位线定理得EF∥AC,故而EF∥平面ABCD;
(II)以D为原点建立空间直角坐标系,求出平面SAB的法向量nSC的坐标,则直线SE与平面SAB所成角的正弦值为|cos<nSC>|.

解答 证明:(I)连接AE,DE,AC,
∵AD⊥平面SCD,DE?平面SCD,
∴AD⊥DE,
∴DE=AE2AD2=1,
又∵CD=SD=2,∠SDC=120°,
∴E是SC的中点,又F是SA的中点,
∴EF∥AC,
又EF?平面ABCD,AC?平面ABCD,
∴EF∥平面ABCD.
(II)在平面SCD内过点D作SD的垂线交SC于M,
以D为原点,以DM为x轴,DS为y轴,DA为z轴建立空间直角坐标系D-xyz,
∴D(0,0,0),S(0,2,0),A(0,0,2),C(3,-1,0),B(3,-1,1),
SC=(3,-3,0),SA=(0,-2,2),SB=(3,-3,1),
设平面SAB的法向量为n=(x,y,z),则{nSA=0nSB=0
{2y+2z=03x3y+z=0,令z=1得n=(233,1,1),
∴cos<nSC>=nSC|n||SC|=1103×23=-1020
设直线SE与平面SAB所成角为θ,则sinθ=|cos<nSC>|=1020

点评 本题考查了线面平行的判定,空间角的计算,空间向量的应用,属于中档题.

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