Question

将正整数1，2，3，4，…，n²（n≥2）任意排成n行n列的数表．对于某一个数表，计算各行和各列中的任意两个数a，b（a＞b）的比值

a

b

，称这些比值中的最小值为这个数表的“特征值”．
（1）当n=2时，试写出排成的各个数表中所有可能的不同“特征值”；
（2）若a_ij表示某个n行n列数表中第i行第j列的数（1≤i≤n，1≤j≤n），且满足aij=

i+(j-i-1)n，i＜j i+(n-i+j-1)n，i≥j

请分别写出n=3，4，5时数表的“特征值”，并由此归纳此类数表的“特征值”（不必证明）；
（3）对于由正整数1，2，3，4，…，n²排成的n行n列的任意数表，若某行（或列）中，存在两个数属于集合{n²-n+1，n²-n+2，…，n²}，记其“特征值”为λ，求证：λ≤

n+1

n

．

Answer 1

分析：（1）可设1在第一行第一列，考虑与1同行或同列的两个数的可能，可得特征值；
（2）分别写出当n=3，n=4，n=5时的图表，由特征值的定义可得答案．
（3）设a，b（a＞b）为该行（或列）中最大的两个数，易得λ≤

a

b

≤

n2

n2-n+1

，作差可证

n2

n2-n+1

＜

n+1

n

，进而可得答案．

解答：证明：（1）显然，交换任何两行或两列，特征值不变．
可设1在第一行第一列，考虑与1同行或同列的两个数只有三种可能，2，3或2，4或3，4．
得到数表的不同是

3

2

或

4

3

      …（3分）

7	1	4
5	8	2
3	6	9

（2）当n=3时，数表为此时，数表的“特征值”为 

4

3

   …（4分）

13	1	5	9
10	14	2	6
7	11	15	3
4	8	12	16

当n=4时，数表为此时，数表的“特征值”为

5

4

．…（5分）

21	1	6	11	16
17	22	2	7	12
13	18	23	3	8
9	14	19	24	4
5	10	15	20	25

当n=5时，数表为此时，数表的“特征值”为

6

5

．…（6分）
猜想“特征值”为

n+1

n

．…（7分）
（3）设a，b（a＞b）为该行（或列）中最大的两个数，则λ≤

a

b

≤

n2

n2-n+1

，
因为

n2

n2-n+1

-

n+1

n

=

n3-(n3+1)

n(n2-n+1)

=-

1

n(n2-n+1)

＜0
所以

n2

n2-n+1

＜

n+1

n

，从而λ＜

n+1

n

…（13分）

点评：本题考查类比推理和归纳推理，属基础题．