Question

已知平面向量

a

=（

2

，

2

），

b

=（sin

π

4

x，cos

π

4

x），函数f（x）=

a

•

b

．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）将函数f（x）的图象上的所有的点向左平移1个单位长度，得到函数y=g（x）的图象，若函数y=g（x）+k在（-2，4）上有两个零点，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析：（I）利用数量积和两角和的正弦公式可得f（x），再利用周期公式即可得出周期T．
（II）依题意将函数f（x）的图象向左平移1个单位后得到函数y=g（x）=2sin[

π

4

(x+1)+

π

4

]=2cos

π

4

x，函数y=g（x）+k在（-2，4）上有两个零点，即函数y=g（x）与y=-k在x∈（-2，4）有两个交点，即可得出．

解答：解：（Ⅰ）∵f(x)=

a

•

b

=

2

sin

π

4

x+

2

cos

π

4

x
=2(

2

2

sin

π

4

x+

2

2

cos

π

4

x)
=2sin(

π

4

x+

π

4

)，
∴T=

2π

π 4

=8．
∴函数f（x）的最小正周期为8．
（Ⅱ）依题意将函数f（x）的图象向左平移1个单位后得到函数
y=g（x）=2sin[

π

4

(x+1)+

π

4

]=2cos

π

4

x，
函数y=g（x）+k在（-2，4）上有两个零点，即函数y=g（x）与y=-k在x∈（-2，4）有两个交点，如图所示．
∴当0＜-k＜2，即-2＜k＜0，
∴实数k取值范围为-2＜k＜0．

点评：本题考查了三角函数的图象与性质、数量积和两角和的正弦公式、数形结合等基础知识与基本技能方法，属于中档题．