(12分)如图，三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1中点,
平面ABC
（Ⅰ）求证：AB1⊥平面A1BD；
（Ⅱ）求二面角A－A1D－B的余弦值；
（Ⅲ）求点C到平面A1BD的距离.
（1）见解析（2）二面角
的余弦值为
．（3）
．
【解析】
试题分析：(1)证明线面垂直，根据其判定定理，只须证明AB1垂直这个面内的两条相交直线即可，本小题显然应证：
.
(2)利用空间向量法求二面角，先求出二面角两个面的法向量，然后再利用
求解即可.
(3)利用空间向量法点C到平面
的距离根据
来解即可.
（1）取
中点
，连结
． 
为正三角形，
．
在正三棱柱
中， 平面
平面
，
平面．
取
中点
，以为原点，
，
，
的方向为
轴的正方向建立空间直角坐标系，则
，
，
，
，
，
，
，
．
，
，
，
． 
平面．
（2）设平面
的法向量为
．
，
．
，
，
令
得
由（1）知
平面，
为平面的法向量．
二面角的余弦值为．
（3）由（2），
为平面法向量， 
．
点
到平面的距离．
考点：空间向量法证明线面垂直，求二面角，点到直线的距离，线面垂直的判定定理.
点评：掌握线线、线面、面面的平行与垂直判断与性质是解决此类问题的前提.
科目：高中数学 来源：2011-2012学年湖北省高三下学期第二次适应性考试理科数学试卷（解析版） 题型：解答题
（本题满分12分）如图,在三棱柱
中,侧面
底面
,
,
,且
为
中点.
(I)证明:
平面;
(II)求直线
与平面
所成角的正弦值;
(III)在
上是否存在一点
,使得
平面,若不存在,说明理由;若存在,确定点的位置.
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科目：高中数学 来源：2011年山东省高一入学检测数学试卷 题型：解答题
（（本小题12分）
如图, 在三棱柱
中, 
底面
，
, 
,
, 点D是
的中点.
(1) 求证
;
(2) 求证
平面
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科目：高中数学 来源：2010-2011学年河南省商丘市高三第二次模拟考试数学理卷 题型：解答题
（本小题满分12分）
如图，三棱柱ABC－A1B1C1的底面是边长为2的正三角形且侧棱垂直于底面，侧棱长是
，D是AC的中点．
（Ⅰ）求证：B1C∥平面A1BD；
（Ⅱ）求二面角A1－BD－A的大小；
（Ⅲ）求直线AB1与平面A1BD所成的角的正弦值．
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科目：高中数学 来源：2010河北省高三押题考试数学卷 题型：解答题
（本小题满分12分）
如图，三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1
面ABC，BCAC，BC=AC=2，D为AC的中点。
（1）求证：AB1//面BDC1；
（2）若AA1=3，求二面角C1—BD—C的余弦值；
（3）若在线段AB1上存在点P，使得CP面BDC1，试求AA1的长及点P的位置。
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科目：高中数学 来源：2010-2011年山东省高一第一次阶段检测数学试卷 题型：解答题
（本小题12分）
如图，三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱与底面垂直，AC=3，BC=4，AB=5，AA1=4，点D是AB的中点.
（1）求证：AC⊥B1C；
（2）求证：AC 1∥平面CDB1.
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