Question

已知函数y=loga(ax-1)（a＞0，且a≠1）
（1）求此函数的定义域；
（2）已知A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）为函数y=loga(ax-1)图象上任意不同的两点，若a＞1，求证：直线AB的斜率大于0．

Answer 1

分析：（1）由a^x-1＞0，得a^x＞1，故a^x＞a⁰．由此能求出此函数的定义域．
（2）由A，B为为函数y=loga(ax-1)图象上任意不同的两点，设A(x1，loga(ax1-1))，B(x2，loga(ax2-1))，故直线AB的斜率kAB=

loga(ax1-1)-loga(ax2-1)

x1-x2

，由此能够证明直线AB的斜率大于零．

解答：（1）解：由a^x-1＞0，
得a^x＞1，
∴a^x＞a⁰…（1分）
当0＜a＜1时，x＜0…（2分）
当a＞1时，x＞0…（3分）
∴0＜a＜1时，函数的定义域为（-∞，0）；
a＞1时函数的定义域为（0，+∞）…．（5分）
（2）证明：∵A，B为函数y=loga(ax-1)图象上任意不同的两点，
∴可设A(x1，loga(ax1-1))，B(x2，loga(ax2-1))…（6分）
∴直线AB的斜率kAB=

loga(ax1-1)-loga(ax2-1)

x1-x2

…（8分）
∵A，B为图象上任意不同的两点，
不妨设x₁＞x₂…（9分）
∵a＞1，
∴ax1＞ax2，
∴ax1-1＞ax2-1，
∴loga(ax1-1)＞loga(ax2-1)…（11分）
∴kAB=

loga(ax1-1)-loga(ax2-1)

x1-x2

＞0，
即直线AB的斜率大于零…（12分）

点评：本题考查对数函数的定义域和直线斜率的知识，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，易出错，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．