分析 (1)h(x)=(4-log2x)•log2x,利用换元法,配方法,即可求函数h(x)=f(x)•g(x)的值域;
(2)令t=log2x,则t∈[0,3]﹒(4-3t)(4-2t)>kt对t∈[0,3]恒成立.令φ(t)=(4-3t)(4-2t)-kt=6t2-(k+20)t+16,则t∈[0,3]时,φ(t)>0恒成立,分类讨论,即可求实数k的取值范围.
解答 解:(1)由题意,h(x)=(4-log2x)•log2x,
令t=log2x,则y=-t2+4t=-(t-2)2+4,…(2分)
∵$x∈(\frac{1}{2},8)$,∴t∈(-1,3),y∈(-5,4]
即函数h(x)的值域为(-5,4].…(4分)
(2)∵f(x3)•f(x2)>kg(x),令t=log2x,则t∈[0,3]﹒
∴(4-3t)(4-2t)>kt对t∈[0,3]恒成立.…(5分)
令φ(t)=(4-3t)(4-2t)-kt=6t2-(k+20)t+16,
则t∈[0,3]时,φ(t)>0恒成立.…(6分)
∵φ(t)的图象抛物线开口向上,对称轴$t=\frac{k+20}{12}$,
∴①当$\frac{k+20}{12}≤0$,即k≤-20时,∵φ(0)>0恒成立,
∴k≤-20; …(7分)
②当$\frac{k+20}{12}≥3$,即k≥16时,
由φ(3)>0,得$k<\frac{10}{3}$,不成立; …(8分)
③当$0<\frac{k+20}{12}<3$,即-20<k<16时,
由$φ(\frac{k+20}{12})>0$,得$-20-8\sqrt{6}<k<-20+8\sqrt{6}$,
∴$-20<k<-20+8\sqrt{6}$.…(9分)
综上,$k<-20+8\sqrt{6}$.…(10分)
点评 本题考查分段函数,考查函数的值域,考查分类讨论的数学思想,属于中档题.
科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | $\frac{{\sqrt{3}}}{2}$ | B. | $\sqrt{3}$ | C. | $2\sqrt{3}$ | D. | $4\sqrt{3}$ |
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | 1个 | B. | 2个 | C. | 3个 | D. | 4个 |
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | $({\frac{1}{2},1})$ | B. | $({\frac{1}{2},+∞})$ | C. | $({0,\frac{1}{2}}]∪[{1,+∞})$ | D. | $({0,\frac{1}{2}})$ |
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | 若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行,那么这两个平面相互平行 | |
B. | 若一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面相互垂直 | |
C. | 垂直于同一直线的两条直线相互平行 | |
D. | 若两个平面垂直,那么,一个平面内与它们的交线不垂直的直线一定垂直于另一个平面 |
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科目:高中数学 来源: 题型:填空题
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | (0,1]∪(2,+∞) | B. | [0,+∞) | C. | [0,1] | D. | (0,+∞) |
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | y=3x+5 | B. | y=3x-5 | C. | y=-3x+5 | D. | y=-3x-5 |
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