Question

10．如图，已知两个正四棱锥P-ABCD与Q-ABCD的高分别为1、2，AB=4．
（1）证明：PQ⊥平面ABCD；
（2）求异面直线AQ与PB所成角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）连结AC、BD，设AC∩BD=O，由正四棱锥性质得PO⊥平面ABCD，QO⊥平面ABCD，由此能证明PQ⊥平面ABCD．
（2）以直线CA、DB、QP为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线AQ与PB所成的角的余弦值．

解答 （1）证明：连结AC、BD，设AC∩BD=O，
由P-ABCD与Q-ABCD都是正四棱锥，
所以PO⊥平面ABCD，QO⊥平面ABCD，
从而P、O、Q三点在一条直线上，
所以PQ⊥平面ABCD；
（2）解：由题设知，ABCD是正方形，所以AC⊥BD，
由（1），PQ⊥平面ABCD，
故可以分别以直线CA、DB、QP为x轴，y轴，z轴
建立空间直角坐标系（如右图），
由题设条件，相关各点的坐标分别是P（0，0，1），
Q（0，0，-2），B（0，2$\sqrt{2}$，0），
所以$\overrightarrow{AQ}=（-2\sqrt{2}，0，-2）$，$\overrightarrow{PB}$=（0，2$\sqrt{2}$，-1），
∴cos＜$\overrightarrow{AQ}，\overrightarrow{PB}$＞=$\frac{\overrightarrow{AQ}•\overrightarrow{PB}}{|\overrightarrow{AQ}|•|\overrightarrow{PB}|}$=$\frac{2}{\sqrt{12}•\sqrt{9}}$=$\frac{\sqrt{3}}{9}$，
∴异面直线AQ与PB所成的角的余弦值是$\frac{\sqrt{3}}{9}$．

点评 本题考查直线与平面垂直的证明，考查异面直线所成角的余弦值的求法，是中档题，解题时要注意向量法的合理运用．