Question

已知函数f（x）=x³+2bx²+cx-2的图象在与x轴交点处的切线方程是y=5x-10．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）设函数g（x）=f（x）+mx，若g（x）的极值存在，求实数m的取值范围以及函数g（x）取得极值时对应的自变量x的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用f（2）=0和f′（2）=5可得关于b，c的两个方程，解出b，c即可．
（2）转化为g′（x）=0有实根．根据判别式求出对应的根，在找极值即可．
解答：解：（1）由已知，切点为（2，0），故有f（2）=0，
即4b+c+3=0．①
f′（x）=3x²+4bx+c，由已知，f′（2）=12+8b+c=5．
得8b+c+7=0．②
联立①、②，解得c=1，b=-1，
于是函数解析式为f（x）=x³-2x²+x-2．
（2）g（x）=x³-2x²+x-2+mx，
g′（x）=3x²-4x+1+，令g′（x）=0．
当函数有极值时，△≥0，方程3x²-4x+1+=0有实根，
由△=4（1-m）≥0，得m≤1．
①当m=1时，g′（x）=0有实根x=，在x=左右两侧均有g′（x）＞0，故函数g（x）无极值．
②当m＜1时，g′（x）=0有两个实根，
x₁=（2-），x₂=（2+），
当x变化时，g′（x）、g（x）的变化情况如下表：
故在m∈（-∞，1）时，函数g（x）有极值；
当x=（2-）时g（x）有极大值；
当x=（2+）时g（x）有极小值．
点评：本题考查利用导函数来研究函数的极值．在利用导函数来研究函数的极值时，分三步①求导函数，②求导函数为0的根，③判断根左右两侧的符号，若左正右负，原函数取极大值；若左负右正，原函数取极小值．