Question

12．设函数f（x）=ax-lnx，g（x）=e^x-ax，其中a为正实数．
（l）若x=0是函数g（x）的极值点，讨论函数f（x）的单调性；
（2）若f（x）在（1，+∞）上无最小值，且g（x）在（1，+∞）上是单调增函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）通过g′（0）=0，求出a的值，从而求出f（x）的表达式，进而求出函数f（x）的单调区间；（2）分别求出满足f（x），g（x）的a的范围，取交集即可．

解答 解：（1）g′（x）=e^x-a，由g′（0）=1-a=0得：a=1，
∴f（x）=x-lnx，f（x）的定义域为：（0，+∞），
∴f′（x）=1-$\frac{1}{x}$，
令f′（x）＞0，解得：x＞1，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜1，
∴函数f（x）的增区间为（1，+∞），减区间为（0，1）；
（2）由f′（x）=a-$\frac{1}{x}$=$\frac{ax-1}{x}$，
若0＜a＜1，则f（x）在（1，+∞）上有最小值f（a），
当a≥1时，f（x）在（1，+∞）单调递增无最小值
∵g（x）在（1，+∞）上是单调增函数，
∴g′（x）=e^x-a≥0在（1，+∞）上恒成立
∴a≤e，
综上所述a的取值范围为[1，e]．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，是一道中档题．