Question

16．已知f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+a+1（其中a为常数）．
（1）求f（x）的单调减区间；
（2）求出使f（x）取得最大值时x的集合；
（3）若x∈[0，$\frac{π}{2}$]时，f（x）的最小值为1，求a的值．

Answer 1

分析 （1）解2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$可得f（x）的单调减区间；
（2）当2x+$\frac{π}{6}$=2kπ+$\frac{π}{2}$时，函数取最大值，可得x的集合；
（3）由x∈[0，$\frac{π}{2}$]可得当2x+$\frac{π}{6}$=$\frac{7π}{6}$函数取最小值，解a的方程可得．

解答 解：（1）由2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$可得kπ+$\frac{π}{6}$≤x≤kπ+$\frac{2π}{3}$，
∴f（x）的单调减区间为[kπ+$\frac{π}{6}$，kπ+$\frac{2π}{3}$]，k∈Z；
（2）当2x+$\frac{π}{6}$=2kπ+$\frac{π}{2}$时，函数取最大值a+3，
此时x的集合为{x|x=kπ+$\frac{π}{6}$，k∈Z}；
（3）∵x∈[0，$\frac{π}{2}$]，∴2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$]，
∴当2x+$\frac{π}{6}$=$\frac{7π}{6}$，即x=$\frac{π}{2}$时sin（2x+$\frac{π}{6}$）取最小值-$\frac{1}{2}$，
此时f（x）取最小值为2×（-$\frac{1}{2}$）+a+1=1，解得a=0

点评 本题考查正弦函数的单调性，涉及三角函数的最值，属基础题．