Question

已知A={x|1＜log₂x＜3，x∈N^*}，B={x||x-6|＜3，x∈N^*}试问：
（1）从集合A和集合B中各取一个元素作直角坐标系中点的坐标，共可得到多少个不同的点？
（2）从A∪B中取出三个不同的元素组成三位数，从左到右的数字要逐渐增大，这样的三位数有多少个？
（3）从集合A中取出一个元素，从集合B中取出三个元素，可以组成多少个无重复数字且比4000大的自然数？

Answer 1

分析：（1）A中的元素作为横标，B中的元素作为纵标，有5×5=25种结果，两个集合中的元素有三个相同，这几个就不用横标和纵标交换位置，当横标是8时，共有5种结果，减去重复的情况，得到结果
（2）取出三个不同的元素组成三位数，从左到右的数字要逐渐增大，这样就是一个从6个数字中取3个数字的一个组合，三个数字取出后，大小顺序是确定的一种情况．
（3）本题是一个分类计数问题，当A中取3的有：C₅³A₃¹A₃³，当A中不取3的有：A₅⁴，根据分类计数原理知共有共300个．

解答：解：∵A={x|1＜log₂x＜3，x∈N^*}={3，4，5，6，7}，
B={x||x-6|＜3，x∈N^*}={4，5，6，7，8}
（1）从坐标系中各取一个元素，作为直角坐标系中点的坐标，
A中的元素作为横标，B中的元素作为纵标，有5×5=25种结果，
两个集合中的元素有四个相同，这几个就不用横标和纵标交换位置，排除四个，
根据分类计数原理知，共有5×5-4=21（个）
（2）∵A∪B={3，4，5，6，7，8}，
∴取出三个不同的元素组成三位数，从左到右的数字要逐渐增大，
这样就是一个从6个数字中取3个数字的一个组合，共有C₆³=20
（3）由题意知本题是一个分类计数问题，
要组成比4000大的数字，
当A中取3的有：C₅³A₃¹A₃³=180； 
当A中不取3的有：A₅⁴=120．
根据分类计数原理知共有共300个．

点评：本题考查排列组合的实际应用，本题解题的关键是注意解题时做到不重不漏，第一问注意去掉横标和纵标交换以后重复的情况，本题是一个中档题目，也是一个易错题．