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【题目】在平面直角坐标系中,已知圆的方程为:,直线的方程为.

(1)求证:直线恒过定点;

(2)当直线被圆截得的弦长最短时,求直线的方程;

(3)在(2)的前提下,若为直线上的动点,且圆上存在两个不同的点到点的距离为,求点的横坐标的取值范围.

【答案】(1)证明见解析.

(2).

(3).

【解析】分析:(1)直线l可理解为过定点的直线系,求出直线恒过的定点;

(2)说明直线l被圆C截得的弦长最短时,圆心与定点连线与直线l垂直,求出斜率即可得到直线的方程;

(3)问题可转化为以为圆心, 为半径画圆,当圆与圆相交时满足题意.

详解:(1)

即直线过定点M.

)方法一:由题意可知:圆心C:

当所截弦长最短时,

.

方法二:∵圆心到直线的距离,

设弦长为,则

当所截弦长最短时, 取最大值,

,令

时, 取到最小值

此时取最大值,弦长取最小值,

直线上方程为

)设

当以为圆心, 为半径画圆,当圆与圆刚好相外切时,

解得

由题意,圆与圆心有两个交点时符合题意,

∴点横坐标的取值范围为

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车速

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(2)请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出关于的线性回归方程

(3)试根据(2)求出的线性回归方程,预测2017年该路段路况及相关安全设施等不变的情况下,车速达到时,可能发生的交通事故次数.

(参考数据:

[参考公式:]

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