Question

【题目】如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AA1=AB=AC，BC= AB，且AA1⊥平面ABC，点M、Q分别是BC、CC1的中点，点P是棱A1B1上的任一点．

（1）求证：AQ⊥MP；
（2）若平面ACC1A1与平面AMP所成的锐角二面角为θ，且cosθ= ，试确定点P在棱A1B1上的位置，并说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1=AB=AC，BC= AB，

∴由已知得AB2+AC2=BC2，∴AB⊥AC，

又AA1⊥平面ABC，∴AA1，AB，AC两两垂直，

如图，

以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，

设AB=1，则A（0，0，0），C（0，1，0），B（1，0，0），M（ ， ，0），Q（0，1， ），

设P（x0，0，1），（0≤x0≤1），

=（0，1， ）， =（ ，﹣ ，1），

∵ =0﹣ + =0，∴ ⊥ ，

∴AQ⊥MP

（2）解：由已知得AB⊥平面ACC1A1，

∴平面ACC1A1的一个法向量为 =（1，0，0），

=（ ， ，0）， =（x0，0，1），

设平面AMP的一个法向量 =（x，y，z），

则 ，取x=1，得 =（1，﹣1，﹣x0），

∵平面ACC1A1与平面AMP所成的锐角二面角为θ，且cosθ= ，

∴cosθ=|cos＜ ＞|= = = ，

解得x0= ，

∴P（ ，0,1），∴P是棱A1B1的中点．

【解析】（1）由勾股定理得AB⊥AC，以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明AQ⊥MP．（2）求出平面ACC1A1的一个法向量和平面AMP的一个法向量，利用向量法能求出P（ ,0,1），P是棱A1B1的中点．
【考点精析】关于本题考查的空间中直线与直线之间的位置关系，需要了解相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；平行直线：同一平面内，没有公共点；异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点才能得出正确答案．