Question

已知复数z₁=sin2x+λi，z2=m+(m-

3

cos2x)i(λ，m，x∈R，)，且z₁=z₂．
（1）若λ=0且0＜x＜π，求x的值；
（2）设λ=f（x），已知当x=α时，λ=

1

2

，试求cos(4α+

π

3

)的值．

Answer 1

分析：（1）把λ=0代入复数z₁=sin2x+λi，利用z₁=z₂．实部等于实部，虚部等于虚部，得到方程组，结合0＜x＜π，求x的值；
（2）表示出λ=f（x），化简为一个角的一个三角函数的形式，当x=α时，λ=

1

2

，代入表达式，化简后即可求cos(4α+

π

3

)的值．

解答：解：（1）∵z₁=z₂
∴

sin2x=m λ=m- 3 cos2x

∴λ=sin2x-

3

cos2x（2分）
若λ=0则sin2x-

3

cos2x=0得tan2x=

3

（4分）
∵0＜x＜π，
∴0＜2x＜2π
∴2x=

π

3

，或2x=

4π

3

∴x=

π

6

或

2π

3

（6分）
（2）∵λ=f(x)=sin2x-

3

cos2x=2(

1

2

sin2x-

3

2

cos2x)
=2(sin2xcos

π

3

-cos2xsin

π

3

)=2sin(2x-

π

3

)（8分）
∵当x=α时，λ=

1

2

∴2sin(2α-

π

3

)=

1

2

，sin(2α-

π

3

)=

1

4

，sin(

π

3

-2α)=-

1

4

（9分）
∵cos(4α+

π

3

)=cos2(2α+

π

6

)=2cos2(2α+

π

6

)-1=2sin2(

π

3

-2α)-1--（11分）
∴cos(4α+

π

3

)=2×(-

1

4

)2-1=-

7

8

．（12分）

点评：本题是中档题，借助复数相等的条件，确定变量的值，通过三角函数的化简，方程思想的应用确定三角函数数值，考查学生对所学知识的灵活应用能力，分析问题解决问题的能力，是好题．